BXoosXiarc=F'j

et par conséquent

aX,/+8in2X/

En général y les intégrales de toutes les équations linéaires , aux diflférences mêlées , s'expriment par de& sommes d^exponentielles , de sinus ou de cosinus, qui ont pour paramètres les racines en nombre infini dW équation transcendante, et qui sont affectés de coefficients constants et arbitraires.

Lorsque l'équation aux difiTérences mêlées, linéaire ou non linéaire, est susceptible de s'intégrer, d'abord par rapport aux différences finies , ensuite par rapport aux différentielles, ou réciproquement, on dit qu'elle est aux différences successwes; et l'on peut concevoir qu'elle résulte immédiatement, ou d'une diffërentiatiou effectuée sur une différence, ou d'une difieraiee prise après une différentiation. Ainsi rien n'empêche de regarder l'équation (lo) comme une équation aux différences successives; car, en la traitant, on a d'abord déterminé la fonctionna: par une opération équivalente à une intégration aux différences, et ensuite on est remonté de la fonction jf'x à la fonction^ par une intégration proprement dîte^

S 3. Notions sur les équations aux différences finies, à deux variables

indépendantes.

626. Nous ne quitterons pas cette matière sans parler brièvement de l'application àa calcul des différences finies aux fonctions de deux variables.

Soit z une fonction de deux variables x^j^ qui croissent par différences constantes A^, b^f\ désignons par

J^QDATfONft A TKOIS VARIABLi;^. 521

^^z^^JZ les différences partielles de la fonction z, prises en faisant varier séparément x et /, et par Az la différence totale : on aura

A,A^ = A^,z, z + Az<=z+AgZ + iij(z'+- A,z),

d'où Az=:=A,z-|-A^z-|-A^^z, résultat qu'on peut exprimer par l'équation symbolique

Az = [(i 4- A,) (i + A,)— i]z.

On trouverait de même

A'^ = [(i + A*) (i + Ar) — ï>>

et^ si u désignait une fonction d'un nombre quelconque de variables x^j", z...., on aurait encore

Les différences àx^ ù^ étant supposées constantes, on peut les prendre égales à l'unité [583] et admettre que les variables Xyjy passent par la série des nombres naturels : dans ce cas la fonction z«^ désigne le terme général d'une table à double entrée [ii6]; x et y sont les indices ou les numéros d'ordre des deuK entrées de la table, ou des deux bandes horizontale et verticale aux« quelles appartient la case dans laquelle est inscrite la valeur z,^.

Quelles que soient les valeurs constantes ou variables des différences Ax,A;^, les différentes valeurs dont la fonction z est susceptible ne peuvent être déterminées et coordonnées en table, que si l'on détermine la série des valeurs par lesquelles passe la variable x et celle des valeurs par lesquelles passe la variable^» Appelons /, H les indices de ces deux séries : ^.sera une fonction dé» terminée de l'indice i^ély une fonction déterminée de l'indice f\ donc on pourra regarder z comme une fonc-

tion des indices i, i^, qui sont des variables discontinues, jouissant essentiellement de la propriété de croître par différences constantes, égales à l'unité. Donc réeiproquement, dans tous les raisonnements indépendants de la forme de la fonction z,^, on peut, sans en restreindre la généralité, supposer Aj::=:i, ^^^^=1.

627. Pour indiquer seulement la nature des relations exprimées par les équations aux différences, dans lesquelles figurent plusieurs variables indépendantes, prenons l'équation très*simple

et admettons que l'on donne la fcMiction z,^^=i^ : on tirera de l'équation proposée

et par conséquent

JB,^, «5= 2f^ SS=3 f , jr.

On déterminerait de même ^«,a,z«.3, et enfin ^^,^,

y ayant une valeur positive quelconque, et x une valeur positive ou négative.

Ija fonction initiale i^/t reste arbitraire, et en outre les intégrations successives introduisent dans les fonctions fi;r,f,^^ etc., des constantes arbitraires, dont la série prolongée jusqu'à l'infini, sera implicitement déterminée si l'on assigne la fonction z^^ pour toutes les valeurs positives de jr.

Mais si l'on donne la fonction z^/=S^jr pour toutes les valeurs de^, tant négatives que positives, la fonction Zg^,p=S^ ne reste arbitraire que pour les valeurs négatives de or, et elle est au contraire implicitement déterminée pour toutes les valeurs positives de la même variable. En effet , l'on tire de l'équation (a)

liQUAÏlONS A TROIS YARUBLbS. 52â

on déterminerait de même 23^, js^^, . , . . z,^, x ayant une taleur positive quelconque, et^ une valeur positive ou négative.

On peut considérer l'expression de z^^ qui s'étend à toutes les valeurs de / et aux valeurs positives de x^ comme ayant une étendue comparable à celle de Tex* pression de la même fonction qui s'étend à toutes les valeurs de x et aux valeurs positives de y : cependant la première ne comprend essentiellement qu'une fonction arbitraire Y^y qui doit être donnée entre les limites — 00 ,-|-Q0 ; tandis que la seconde comprend deux * fonctions arbitraires y savoir i^ qui doit être donnée entre les limites — oo , -|-oo , et YoJ qui doit être donnée seulement entre les limites o^-}-oo. Ce fait d'analyse tient à ce que les variables x^jr n'entrent pas symétriquement dans l'équation (a), et il a de l'analogie avec le cas de réduction des fonctions arbitraires, dans les intégrales des équations ordinaires aux différences partielles, où les plus hautes dérivées de la fonction ne sont pas de même ordre par rapport à chaque variable indépendante; mais il offre de plus cette circonstance singulière (qui ne nous parait pas avoir été remarquée) que le nombre des fonctions arbitraires indépendantes varie selon le signe dont les valeurs numériques des variables indépendantes se trouvent affectées.

Pour les valeurs négatives de /, la table des quantités z«^ se construirait sans qu'on eût besoin de connaître autre chose que la fonction f^x entre les limités droo : en effet l'équation (a) donne -2*,-»=fo(^H-i)— f<^, 55,,.,e=f^(a?+2)— afo(ar-fi)+f^, etc.

Ali contraire, la constrjiction de la table, pour les valeurs négatives de ,r, exige qu'on assigne la fonction F^j^

524 LIVRB VJII. CHAPITRE IV.

entrs les limites ± oo , et en outre la fonction f^v entre les limites o, — oo ; car on tire de Téquation proposée

équation aux différences, d'où Ton ne peut tirer z^j^ que par une intégration relative à jr^ qui amène une constante arbitraire. Le passage de ^^x,^ à z.,,^ en amènerait une autre, et ainsi de suite.

Supposons que nous voulions construire la table des valeurs de la fonction z^^^ seulement pour les valeurs positives de x,jr^ et qu'on ait z,o=fo.a::=:i, pour toutes les valeurs positives de x. Admettons de plus qu'on ait Zo,«;=ii et z^^,^=:F^j^^=o pour toutes les valeurs positives de l'indice j^ : il vient, par suite de oes hypothèses,

jr(ir — i) j:{x — i) {x — a)

c'est-à-dire que la fonction z«^, définie par l'équation (a), est, en vertu des hypothèses sur les fonctions initiales, le coefficient de a'"^ b^ dans le développement de la puis* sance (a-j-^)'.

Si x^jy désignaient des variables continues, la sur&ce dont l'ordonnée verticale est 2,,^ pourrait être construite pour toutes les valeurs positives de x, moyennant qu^on donnerait la valeur de la fonction pour toutes les valeurs de^* et pour les valeurs de x comprises entre o et -|-T, ou la bande de la surface comprise entre le plan des^z et un plan parallèle mené à la distance :c==i.£n