THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES

le sommet du petit axe pour origine des arcs, les trois fonctions F, E, H ont reçu la dénomination à^ fonctions elliptiques^ et on les distingue en les qualifiant respectivement de fonctions elliptiques de première^ de seconde \ et de troisième espèces.

La constante c qui représente, dans la fonction de seconde espèce, l'excentricité d'une ellipse, se nomme en général le module : la constante a, qui n'entre que dans la fonction de troisième espèce, et qui peut être positive ou négative, réelle ou imaginaire, conserve spécialement le nom A^ paramètre.

La variable indépendante <p se nomme Xamplitude. Si du point O comme centre , avec le rayon OA, on décrit un cercle, et qu'on prolonge l'ordonnée /7m jusqu'à la rencontre du cercle en n^ on a Op =0n. sin BOn. Ainsi l'amplitude (p est représentée géométriquement par l'angle BOA^, quand la fonction E (c, cp) est représentée géométriquement par l'arc elliptique Bm.

Les trois fonctions elliptiques sont évidemment des

fonctions^Jmpaires de cp [i8], puisque la différentielle

d(f change de signe par le changement de <p en — (p^

' tandis que le facteur qui multiplie d^ sous le signe /^

ne change pas.

Quand l'amplitude cp est égale à un quart de circonférence, ou lorsqu'on prend ~ t: pour limite supérieure des intégrales, les fonctions sont dites complètes^ et on les désigne simplement par

Si les valeurs des fonctions elliptiques sont calculées pour un quart de circonférence, c'est-à-dire, pour toutes les valeurs de <p comprises entre o et 7 tc, elles se trouveront déterminées pour des valeurs quelconques de 9,

52 LÏVRE V. CHAPITRE IV.

à cause de la périodicité de la fonction sin^(p qui entre sous le signe d'intégration. Ainsi l'on a

F(^,T ir-h?)=2F(c)-F(c,^-(p), F{c,t: + (p)=: 2F(c)+F(c,<p), F(c,|7r + 9) = 4F(c)— F(c,|ir-(p), F(c,2ir+ (p) = 4F(c)+F(c,<p),.

et ainsi des autres.

Le module c doit toujours être supposé < r [3ia] : deux modules c, (fixés par l'équation c*-j-c'*=i, sont dits complémentaires.

328. Désignons par (p, ^, [jl les trois côtés d'un triangle sphérique^ dans lequel l'angle M, opposé au côté pL, serait donné par l'équation sin M= c sin (jl ; de façon que, si l'on pose pour abréger

COS M = l/i— c>8in»|i=A(£,

la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique donnera la relation

COS [L = cos cp COS <|; + sin (p sin 4^. A{a, (i)

et par suite

I — . ^^ ^^ =. (cos <p cos ^j; + sin «p sin ^. Ap,)*.

£n résolvant cette dernière équation par rapport à Api, et en rejetant la racine qui donnerait pour Apt. une valeur négative, on trouve

Z^i — c*sin* <p sin*^) = — c* sin <p sin ij; cos ç cos ^

-\- V^ I — c» (i — cos* <p cos* ^ -^ sin» <f sin* <]* — c* sin* ^ sin» ^).

Mais il est aisé de vérifier que la quantité sous le radical se réduit à

( I — c* sin* cp)» ( I — c* sin* ^f = ( A(p)* , {^)% en désignant par A<p, A^ des quantités composées en <p,