THEORIE DES FOKGTIOITS ELLIPTIQUES

i]/ comme A[x Test en (x : donc, suivant cette notation,

. Aç.A^j/ — c' sin (p sin ^ cos (p C08 ^ . .

** I — c* sin* <p sin* ^ V /

On en conclut, après quelques transformations,

. ^ I — {P^ (sin <p cos ^bk^ 4- sin ^ cos <p A<p)*

^ c* ( I — c* sin* 9 sin* ip)*

ou

sin 9 cos J;A4/ + sin J; cos cpAo) .^.

sm a = î V- » — ' , I ' (3)

* I — c* sm* 9 sm* ^ ^ ^

Si l'on difFérentie cette dernière équation, çn y considérant <p et <|; comme des arcs variables, et [jl comme un arc constant, il vient

f^ . Q(y>^) ^ ^^ ^ .___iM)__=o. U)

Açp (i — c*sin*(psin*i|/)* A^j/ (i — c*sin*<psin*<j;)* * ^ ^

Pour abréger, nous désignons par n(<p, <]/) la fonction

(i + c* sin* (p sin* ^) cos <p cos i|/AcpA^ — sin «p sin if +c*sin<p sinil;(sin*9+sin*^ — cos*<p cos*i(; — c*sin*(p sin*ij;). /; Comme l'équation (3) est symétrique par rapport à ? et 1 à i{^ il suffira de former le coefficient de rfç, d'où l'on I conclura celui de d^. On pourrait donner à la fonction : O d'autres formes : il convient seulement d'en choisir \ une qui mette en évidence la propriété de cette fonction î d'être symétrique par rapport aux deux variables (p, ij;.

1 L'équation (4) se réduit à

cfcp dl^ rf<p d^

d oïl, en intégrant,

F(c,cp) + F(c,il^) := const.

Pour déterminer la constante arbitraire que cette intégration a introduite, on fait dans l'équation (i) '^=o, ce qui donne <p=(i.; et comme F (c, o)=o, il en résulte entre les variables <p, ^ et la constante [i., déjà liées par l'équation (i), et assujetties à former les trois côtés d'un

triangle sphérique dans lequel l'angle opposé au côté constant est aussi constant , cette autre équation

F(c,f ) + F(r,,j.) = F(c,tt). (5)

Donc^ si Ton a les valeurs de la fonction elliptique de première espèce pour deux amplitudes f,^, on obtiendra par l'addition de ces valeurs celle de la fonction de même espèce pour une amplitude pi^ [l étant déterminé en fonction de 9, ^ par l'équation (i),ou par l'équation (3) qui en est une transformation.