THEORIE DES FONCTIONS ELIIFTIQUES
cos am(« do p) cosam «.cos am p. qcsin am tt.sin am p. Aam u, Aam 1/
I — • c* sin' amu.sin' ara c '
et en général, toutes les formules dont les analystes font un si fréquent usage pour la transformation des fonctions trigonométriques^ ont leurs analogues pour la transformation des fonctions elliptiques inverses de première espèce, ou plutôt peuvent être considérées comme des cas particuliers des formules elliptiques, dans lesquelles on suppose le module nul, ce qui entraîne
am u = Uy A am u=i.
Le développement de ces curieuses analogies a fait l'objet des beaux travaux d'Abel et de M. Jacobi , accueillis dans le monde savant avec un intérêt que la jeunesse des deux émules, la mort prématurée de l'un d'eux rendaient encore plus vif. La sagacité de ces géomètres s'est appliquée surtout à suivre dans leur extension aux fonctions elliptiques inverses, les relations remarquables par lesquelles l'analyse des sections angulaires se rattache à la théorie des nombres et à la haute algèbre [79].
330. La fonction sin u et toutes les autres fonctions trigonométriques qui en dérivent, sont périodiques pour les valeurs réelles de la variable u : elles cessent de l'être si l'on fait passer la variable indépendante par une suite de valeurs imaginaires wl/II7, puisqu'elles se changent alors en fonctions exponentielles. L'inverse a lieu pour la fonction exponentielle <?". La fonction sin am u jouit de la propriété de rester périodique, soit qu'on fasse passer la variable u par une suite de valeurs réelles ou par une suite de valeurs imaginaires; de sorte qu'elle cumule le principal attribut des fonctions trigonométriques ordinaires avec celui des fonctions exponentielles.
Désignons par -^rilsL valeur de u qui correspond à l'amplitude (ps-^Tu, ou la valeur de la fonction complète F,(c) : on aura [327]
sin am u = sin am (u + 2x;j) = sin am (a + 4'CJ) =sinam(tt+2iW),
i désignant un nombre entier quelconque. Ainsi, eii premier lieu , la fonction sin am u est périodique pour les valeurs réelles de u.
Faisons maintenant
din9= V/HT.tangO, c'*=i — :C% ce qui donne
cos»©=i -f-tang*0= v,
^ ® cos»6'
S dH
cos<pcos*6 *cos6'
rf? — di
V^i — c» aîn» ç V^i — c'» sin» 0
F(c,cp)=w/:Z7.F(c',o); et posons
F(c',e) = i,, F(c,cp) = «»/—;
il en résultera (en mettant le module entre parenthèses^ à la suite du signe sin am, pour distinguer les amplitudes qui se rapportent à des modules différents) : sin 6= sin am(a,c') , tangO =: tangam(tt,c')^ sin 9= sin am(Mi/ir;,c), et par conséquent
sinam(«il/IIi,c)= \/~ . tangam(ii,c^).
Désignons par ^ '^' la valeur de, V fonction complète F(c') : nous aurons
tang am(M,c ) = tang am(a H- 2Xii\c') = tang ani(tt -+- 4trf',c')
=tangam(w + 2i'vi\c')y
THEORIF BES FOITCTIOITS ELLIPTIQUES. 57
i' étant un nombre entier quelconque, et par suite
sinam(aV/I^)= sin ani[(iH-*2«''C<')v/--ij, les amplitudes, dans cette dernière formule, se rapportant au module c. Donc
sin am(2/'trf'V^^) = sin aro(o) = i ,
cosam(2i'xJ'l/— i) = cos am(o) = i , A am(at''cJ'i/!IIi)=i.
£n vertu de ces dernières relations, si l'on fait dans
la formule (a) (/=û/trf'|/I^, elle donnera
sin am(i^ + ai'trf' l/— î) = sin am ii.
Mais nous avons déjà trouvé
sin am(tt + aixS) = sin am w; donc
sin am u = sin am(tt + 2rd 4- 2i'rS\/1Iî);
et cette dernière formule exprime la double périodicité qu'il s'agissait d'établir : l'une des périodes ayant un argument réel, et l'autre un argument imaginaire.
331. Il est aisé devoir, d'après ce qui précède, comment on pourrait construire, pour une valeur donnée du module^ entre les limites d'ainplitude o et ^ ir, une table des valeurs de la fonction F, ou (ce qui serait encore plus simple) une table des valeurs de la fonction inverse sinam u^ entre les limites ££=o, u= ^xj. Faisons dans la formule (a) i^=8uj et supposons 8u assez petit pour qu'on puisse prendre sans erreur sensible
sin am Su = sin Su^z^Uj cosam 8u = cos^i^ = i , A(Jtt) = i : cette formule donnera
sin am(ii + Su) = sin am u + 8u. cos am m. A am u. En faisant successivement, dans cette dernière équation,
u= 8uj M = ajtt, u = 3^M , etc. on aura les valeurs de la fonction sin am u pour une suite de valeurs équidifférentes de u , dont la différence est Su, Ce procédé comporterait des simplifications
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et des vérifications analogues à celles qu'on indique pour le calcul des tables trigonométriques ordinaires. D'ailleurs on renverserait sans difficulté la table des valeurs de la fonction sin am u^ pour former celle des valeurs de la fonction u=F {cj (p), qui est plus spécialement appropriée aux besoins du calcul intégral.
332. Il s'agit de montrer maintenant comment on peut calculer directement la fonction F {Cj <p) pour chaque valeur du module et de l'amplitude, sans être obligé de construire une table spéciale pour chaque module, en répétant le système d'opérations indiqué dans le n® précédent. Désignons donc par Cy Cj des modules quelconques, et proposons-nous de déterminer un coefficient constant A:^ de manière qu'on ait
ou
Il y a une infinité de manières de satisfaire à cette équation, en assignant des relations convenables entre les modules c, c, et entre les variables ç, <pi. Sans traiter le problème par des méthodes directes qui exigeraient de trop longs développements , admettons que l'on fasse
sin*(ï)(i — c,* sin*cp,)=Â"*sin"çp,(i — sin*cp,), (7) ce qui donne par la différentiation
sin Q>x cos 9,^9, cos ^dm
sin cp(i — c/ sin* <p,) c/ sin* <f + k\i — 2 sin* 9,) Mettons dans le premier membre la valeur de sin f et dans le second celle de sin 9, , l'une et l'autre tirées de l'équation (7) : nous aurons
dfj^ cos 9^9
