T1I£ORI£ DBS FONCTIONS ELLIPTIQUES

équation dont la Gomparaison avec l'équation (6) donne

k^ COS f\/i--c»8in»ç V^{k^ + Cx» sin» <j>)>— 4A> ain* ç OU

X:^(i ^^ sin* f) (i — c*8in* <p) = [h + c,* sin» ç)* - 4** sin* <p; et pour que celle-ci soit identique par rapport à cp , il faut qu'on ait

e/ = A:*c% 4 - 2C,» = *»(c» + i), d'où l'on tire

Substituons dans l'équation (7) ces valeurs de Cx, k ^

et elle donnera

sih (aç, — «p) = c sin <p.

333. La valeur de c, ainsi déterminée est toujours plus grande que c. D'après cela, imaginons que l'on calcule une suite, ou, comme on dit, une échelle de modules Cx, c,, Cs,. . . liés entre eux et au module primitif c par les équations

ai/c ^vTi 2\/77 ^ ,,N

c- = , Cj z=^ -. , Cj -=z^ — , etc. sp)

jusqu'à ce qu'on arrive à une valeur c, peu différente de l'unité ; et que l'on détermine en outre une série d'amplitudes ?i, Ta, ?3,. . . . au moyen des équations

sin (2<p,— cp ) =^ c sin <p,

sin(a(p,-(p,) = c,sinç„ ( (c)

5in(2(p3-<p,)==c,sin<p„ etc. :

on aura aussi

Fto)=i±f=.r(c„,.)=(i±S) (i±S) (i±£) j(«,rt

etc.

Mais lorsque , dans Téchelle des modules , on sera arrivé à un terme c„ peu différent de l'unité (et il suffira ordinairement de calculer un petit nombre de termes), on aura sensiblement

d'où

Rien n'empêche de prolonger la série (À) en arrière

de c par une suite de termes c,, c a, c 3,. . .dérivant

les uns des autres selon la même loi , en sorte qu'on ait

^»^~ 21/^ al/^

c= , ^-1 = -i c^^ = =•, etc. (à)

sin (aç — <p i) = c i sin <p,,

sin (2<p x-<i>-,) = c, sin (p„,,

etc.

On tombera bientôt sur un terme c„ très-peu différent de zéro , et alors on aura sensiblement

d'oi

OU

iP/ N ' + g-x I + C, I + ^-n ,.x

On choisira entre les formules (d) et (d') celle qui conduira le plus rapidement à la valeur de F(c, <p). C'est ainsi qu'ont pu être calculées les tables données par Legendre dans son grand ouvrage sur les fonctions elliptiques.

Quand on prend «p=zz ^tt, les équations (d) donnent