THEORIE DES FONGTIONS ELLIPTIQUES

Donc si Ton désigne par K la limite vers laquelle converge le produit

composé d'un nombre infini de facteurs qui vont en convergeant vers l'unité , la valeur de la fonction complète

r(c)estK^.

334* Passons à la fonction elliptique de seconde espèce

Si l'on désigne toujours par «p, "^ deux angles assujettis à vérifier l'équation (i) du n^ 3^8, et par conséquent l'équation difierentielle

on a

=c*(sin* if — sin* (p) ~

Or l'équation (i) donne

A(ii d, sin f. sin <{; = sin cp cos i(d^ + sin ^ cos ^ ^, et en substituant pour d^ sa valeur tirée de l'équation (8),

A(& . ^. sin <p sin ^ =3c (sin (p cos ^Acp — sin i( cos 7 A^) -r-» (9)

On a d'ailleurs, en vertu des équations (2) et (3),

sin p. sin (p cos ij;Acp -4- sin if cos <pA<p ^ , .

A(i. AcpA^— c*sincpsin^cos<pcos^' et de la combinaison des équations (9) et (10) on tire aisément

sinfjie^.sin 9 sinil;= (sin* <p — sin'4')yy • (^^i)

Donc

rf. E(c,cp) + d. E(c,ij;) = — . c* sin (A ^Z. sin i^p sin i{;, E(c,^) + T^{c;if) = c<?n5^. — c^ sin [JL sin cp sini];, et en déterminant la constante arbitraire de manière qu'on ait à la fois ^=o, 9 = [x,

E(c,<p) + E(c,ij;) = E(c,|x) — c* sin (t sin «p sin i|^. (12)

En comparant cette formule à Téquation (5) qui en est l'analogue pour la fonction F^ on voit pourquoi les géomètres qui ont traité des fonctions elliptiques ont mis au premier rang la fonction F comme plus simple; quoique, d'après l'analogie géométrique, la fonction E, qui mesure un arc d'ellipse , semblât devoir venir immédiatement après les arcs de cercle.

335. Considérons maintenant, comme dans le n"" 332, un module c^ et une amplitude <p, , liés à c et à ? par les équations

c.= — — , sm (2cp, - (p) = {? sin 9. (i3)

On tirera de celle-ci par la différentiation

, , c COS CD + cos r2cp, — 9)

2 COS (29, — (p)

ou bien en remplaçant cos (acp,— ^(p) par sa valeur Aç, tirée de la seconde équation (i3),

Mais l'équation (6) donne

OU , en remettant pour k sa valeur,

a«pi = T-' • V/i-ci»8in>9,. (id)

Comme les équations (i4) et (i5) doivent s'accorder, il faut qu'on ait