THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES

(l 4- £?)l/i — c,»»iii»ç, = CCOS <p + A9. (16)

Multiplions les équations (i4) et (i6) membre à membre , et il viendra

/ . . , d/9 (c C08 9 -4- Aç)*

(l+c)l/, — c,»Mna<p,.rf<Px = ^-^^ ^ —

, , I C' rff ,

= Ki — c>8m*9.a<p-^ • = + gcosya(p;

a Kl — c* sin* ç

d'où , en intégrant ,

(i + c)E(c„<p,) =r Y{c,i) — i^' . F(c,ç) + c sin cp. (17)

Nous n'ajoutons pas de constante arbitraire , parce que tous les termes de cette équation s'évanouissent séparément pout* <p=o.

En vertu de la formule (17)9 la fonction E (0,9(^1) est donnée par deux fonctions elliptiques, Tune de première, l'autre de seconde espèce, ayant chacune même module el même amplitude; et réciproquement la fonction de première espèce est donnée par deux fonctions de seconde espèce , qui diffèrent de module et d'amplitude.

Si Ton prend (p = 7r, on aura 9, = ^^,

E(c,:r) = 2E(c,-i tu) = aE(c) , F(c,ir) = aF(c,|7r) = 2F(c),

et la formule (17) donnera cette relation entre les fonc-» tioDs complètes

(i+c)E(cO = 2E(c)— (i — c')F(4 (18)

336. En suivant l'échelle des modules et des amplitudes dont la loi a été donnée dans le n"* 333, on trouve

(i + r,)E(c.,T,) = E(c„cp,)— î^=^.F(^„(p,)+c.sin(p,,(i9)

F(^. >?x) = -— — • F(^)?)- (ao)

On peut éliminer F(c,<p) , F (c^^tp,) entre les équations ( 1 7), (19) et (ao), puis substituer pour c, sa valçur en c, et il vient définitivement

17/ \ (i-l-^)(3 — c)„. . 2(1 — c) -. . E(c,?) = ^ J±-^ ^E(c„cpO-^^^^^^,.E(c„y,)

— csmq>H .smç,, (21)

Gomme le même calcul peut être indéfiniment répété , en suivant l'échelle ascendante ou descendante des modules, on ramènera toujours la fonction E(c,cp) à dépendre de deux fonctions de même espèce, pour lesquelles le module aura une valeur très-peu différente de zéro ou de Tunité. Or , quand le module c. est très-peu différent de zéro ou de l'unité, on a, sans erreur sensible,

OU bien

E(<?„,<p«) = / " cos <p . eÈp = sin cp» .

337. Nous ne donnerons qu'un théorème concernant les fonctions elliptiques de troisième espèce , et ce sera l'analogue de ceux qui se trouvent exprimés par les formules (5) et (12), relatives aux fonctions de première et de seconde espèce. En désignant toujours parcp,^ deux amplitudes variables, assujetties à vérifier les équations (i), (3), (8), on a

- „, \ , / I \ ^9 sin 4 — sin 9

AV > ?Ty • xi\ > ,Ty ^<p (i+rtsm*<p)(i+asm*4')

ou bien, en vertu de l'équation (11), ,„, \ irr/ IN rf.sin<psin4 . .

Si Ton pose

THÉORIE DÈS FOJfCTIONS ELLIPTIQUES. 65

sin <jp sin ^ z= a, sin* tp ■+- sin* ^]; = p, le second membre de Téquation précédente devient

— a sin (1.

i+ûp+ûa On tire de l'équation (i)

cos* ç cos* ^j; = cos* [A — a cos ftAjJt sin çp sin ^

-|- (i — c* sin* \L) sin* cp sin* ^|^ ; et comme

cos*<pcos*ij;==i— •(sin^<p+sin*^j;)+sin*çsin'(j;=i — P+a%

il vient

I — P + a^= cos* (A — aa cos |aA(x + a*(i — c* sin* (ii),

d'où

P = sin* (JL + 2a cos (jl Apt -f- a*c* sin* (a ,

et par suite

doL doL