CHAPITRE PREMIER

INTÈGRilTION DES FONCTIONS ALGEBRIQUES.

294. Nous avons indiqué dans le premier livre [chap. III et ly] les principes de la théorie des quadratures et de Tintégration des fonctions d'une seule variahie : principes dont la connaissance nous était dès lors utile, tant pour nous former une idée générale de la nature et des applications de l'analyse infinitésimale, que pour l'éclaircissement de certains points de doctrine que l'on a coutume de rattacher au calcul différentiel. Maintenant nous entrons dans le calcul intégral proprement dit; et il s'agit d'abord d'étudier les procédés d'après lesquels, étant donnée une fonction différentielle d'une seule variable, on trouve son intégrale, quand on peut exprimer

analy tiquement cette intégrale sous forme finie, en n'employant que les fonctions algébriquesou les fonctions transcendantes déjà connues.

Lorsque, pour intégrer une fonction ^i£r« on la décompose en plusieurs autres dont on connaît les intégrales , ce procédé s'appelle intégration par décomposition. Exemple :

ydx r{%ïv?x+cQs^x)dx Çdx Çdx

fkv^xco^x J sin*arcos*ar j co^x J ûx?x

= tang X — cot X + const.

Si Ton pose

arz=çr, dXr=.nftdt^

la fonction /x^^r deviendra une fonction différentielle

'^e /, de la forme

f{<ft).fifUdt,

£n admettant que l'on sache intégrer cette dernière fonction, il suffira de substituer pour t^ après l'intégration , sa valeur en a; , et Ton aura l'intégrale de la proposée* Ce procédé s'appelle intégration par substitution.

Ainsi, pour avoir l'intégrale

xdx

on posera

x*'=,t. d'où xdx-=, - et;

l'intégrale proposée deviendra

/ ^ :=:: - log {t -f- a") -h const. = - log (ar* +a')H- const.

Ces deux artifices de calcul , joints à celui de V intégration par parties [55], sont d'un usage continuel, et la pratique apprend à les combiner de manière à arriver par la voie la plus courte au résultat cherché : on en

verra de nombreux e^ethplë; dans ce qui doit suivre.

§ i^'^. Fonctions rationnelles.

29b. Une fonction différentielle de Xj algébrique, rationnelle et entière, peut toujours se déconiposer en monômes de la forme ax'^dx, et par conséquent peut toujours s'intégrer algébriquement, puisqu'on à, par le Renversement des règles de la différentiation ,

afax = h const. (a)

Quelquefois cette opération s'abrège par des substitutions. Soit, par exemple,

dy =i {ax + by^ dx :

on posera ax-|-A=f , et il viendra

r = - it^cUzzi — . 4- const.:=r—i ^—r- + const. { i )

aj «(/?!+ 1) a{m + i) ^ '

Les formules {a) et (i) subsistent pour des valeurs de m positives ou négatives , entières ou fractionnaires, ou même irrationnelles. Elles ne tombent eii défaut que pour là valeur >;t= — i , qui rend infini le terme

et en effet l'on sait que dans ce cas

*dx

— = log X -h consL \b)

£n passant aux intégrales définies, on a

1 x^dx = ■■ ; (c)

Jx. m+i ' ^^

et quand on fait dans le second membre de l'équation précédente m=z — i , il se présente sous la forme 3, ce qui nous montre que le second membre de l'équation {a) , dans la même hypothèse, n'est pas infini, mais indé-

terminé, à cause de la constante arbitraire qu'il renferme et qui doit être supposée infinie, en même temps que le terme variable.

On a

-^ — ^ =a:*+ ■ log x;

donc, si l'on applique au second membre de l'équation (c) la règle ordinaire pour la détermination des valeurs qui se présentent sous la forme indéterminée^, on trouvera

— = logar — logor,,

ainsi qu'on le conclurait directement de la formule (&). Soit

fx désignant une fonction algébrique entière , et m un nombre entier positif : on posera, comme ci-dessus, cuK'^b:=t; et après qu'on aura substitué pour :r, dans fx, sa valeur en t; et effectué les développements des puissances , la différentielle d/ sera la somme de termes de la forme

— - dt=Nr-"'dû,

N désignant un coefficient constant; au moyen de quoi la détermination de l'intégrale y sera ramenée à l'intégration d'une suite de différentielles monômes.

296. En général, une fonction différentielle algébrique, rationnelle et fractionnaire, est formée d'une suite de termes de la forme

INTl^GRATION DES FONCTIONS ALGEBRIQUES. 5

fx^ Yx désignant deux polynômes entiers en j; , et l'on peut toujours admettre que le numérateur^ est d'un degré inférieur à celui de Fx : autrement on effectuerait la division algébrique, et l'on transformerait la fonction proposée en

ixdx '\''^'^ .dx .

rx.

fx désignant une fonction entière et^^o; une fonction de degré inférieur à celui de Fx; en sorte que Fintégration de la fonction (d) serait ramenée à celle de la fonction

£^^ dx

Ceci admis, supposons que l'équation algébrique

Fa:?3 0 (F)

n'ait point de racines multiples, et soient

ses racines, réelles et imaginaires : on pourra poser

Or, on a (les coefficients A,, M,, N.'désignant des constantes )

f * ^ = AJ log {x — ai)+const. ,

Mi-ai+Ni dx

r{MiX ^N,)rfxj p/li{x—(i,)dx l fi, ' Pi

="^*^SK^""^')*"^^' J"* S^ — arctang[ -g— l+c<?/i5^;

en sorte que Ton obtient rintégrale|de tous les termes dans lesquels se trouve décomposée la fonction {d) , et par conséquent l'intégrale de cette fonction même. Ouj déterminerait les coefficients A,, M,, N, par les

règles ordiniaàr^s de l'algèbre, en faisant disparaître les dénominateurs dans l'équation (2) qui doit être identique, et en égalant s^arément à zéro, après le d/éveloppement, les facteurs qui multiplient chaque puissance de X. On obtiendrait ainsi autant d*équations du premier degré entre les inconnues qu'il y a d'inconnues à déterminer : mais on peut aussi les calculer directement par le procédé suivant.

On a

/x Ai for. (or. — a,)

Far X — Oi ¥x '

fx désignant une fonction entière de x que l'on obtient

par la réduction au même dénominateur de toutes les

fractions, autres que '- — , qui entrent dans le second

^ X — ai ^

membre de l'équation (a). De là on tire

Yx

fx-ziz, Ai {-fxX^ — ^i)'

Lorsqu'on fait dans cette dernière équation a:=a,, Je

Yx

terme £r. {x — a^ s'en va, la fraction se présente

X — di

sous la formel, et sa vraie valeur est F'Oi, quantité finie et différente de zéro, puisque, par hypothèse, a, est une racine simple de l'équation (F) : donc on a

Il viendrait die mênie

d'où

M,<«..±p.v'=7)+N..=±.p,V-..|^^^), (3) équation qui se décomppse en deux autres, à cause du

l]!fTjiGRA.TfON DES FONCTIONS ALGEBRIQUES. 7

radical V/^, et qui suffit pour déterminer les coefficients M,, N<.

297. Si Féquation (F) a r racines réelles égales à a , on ne peut plus poser

fr A' A" AW A

pT- — 1 f- . . . H 1 h etc. ;

ra: x — a x — a x — a x — a, '

car, à cause de l'indétermination des coefficients A', A"

etc. , cette équation ne différerait pas de

fx A A.

^ = h ' h eic.,

jtx X — a or-— a^ '

et Ton n'aurait plus le nombre de coefficients nécessaire

pour établir l'identité ; mais on fera

fx k' k'' AC^-O A(0 A.

d'oh /ir=AWF,x+A(^-0(a-a)F,a:+...+ A''(ar— «y-'F.^r

+ A'(a:— «y-'F^^H- (a? — a^fr, (4)

en désignant, pour abréger, par F,a: le polynôme entier

Yx {x—ay et par f.r la fonction entière qui est le numérateur de la somme des fractions

s 1 * h etc.,

après qu'on les a réduites au même dénominateur.

On soumet l'équation (4) à r — i différentiations

successives, et l'on fait ensuite x=a,. tant dans cette

équation que dans ses différentielles , ce qui donne :

/a=AWF^a,

fa=zk(^)F\a 4- A('-«)F.a , . ,..

/rt=A(0F'',a4^2A(^-OF'.a + 2A(-»)F.a, ^ ^^

et par le moyen de ces équations on détermine succès-

sivement les coefficients A^*^^, A^'-'\ A^'^""^. . . A'% A'. Il est visible d'ailleurs qu'après la décomposition de la fonction fractionnaire proposée, chaque terme de la

forme

A^O ^ r-.aa:

[x — ay s'intègre algébriquement , à l'exception du terkne

A' X — a qui s'intègre par logarithmes.

Lorsque la racine a est incommensurable^ le polynôme F^x a des coefficients incommensurables , même dans le cas oîi le polynôme F^ n'aurait que des coefficients rationnels : il est donc utile de savoir calculer les quantités F,«, F',«, F'';a, etc., qui entrent dans les équations (5), sans avoir besoin de former le polynôme F^x. Or, puisque

par hypothèse

Fx =(ûç — ayF^x , on a

F(Oa: =z{x— a^F, W^ -f- - . r(a; — ay- 'F,(' - Ox

+ ^^ "^/^r — i) (^— ay-'F/'-^^a^ + etc,

la suite se prolongeant jusqu'au terme

r(r— i) (r— a). . .(r — ^-^ i) {x—ay-'F^a:, pour les valeurs de / < r, et jusqu'au terme

^-^ 5-^^ —^ .rfr— i)...3.2.i(a;— a)T ('-'•):r

=i{i—i) (i — 2)...(/— r4-i)F,C»-^)x, pour les valeurs de ^ > r. Ce dernier terme étant le seul qui ne s'évanouisse pas quand on fait a: = <2, il vient FCO a=r(r — ij(r — 2). . .3.2.i,Fja,

F('^+*)a = (V+2)(/'-M)r. ..5.4.3.r",rt, etc.;

INTEGRATIOBT DBS FONCTIOrrS ALGJÉBBIQUES. 9

et par suite on pourra chasser F.a, F^.a, F'\a, etc., des équations (5).

298. Si réquation (F) avait des racines imaginaires multiples , F^ admettant pour facteur

on poserait

fx M'ar+N' M''a:-+-N'

Yx ~{x- a)» H- p* [(^— «)' + P*]*

et réquation (4) se trouverait remplacée par

yi=(M('-):r + NW)F,x -4- (M(--«)) \[x—(Lf + p*] F,x +. . .

On prendrait les dérivées successives de cette dernière équation ; on ferait ensuite j: = ait Pj/Hi , et Ton aurait le nombre d'équations nécessaire pour déterminer tous les coefficients M^'^ , N^*\

Admettons que ce calcul soit effectué : il s'agira d'intégrer une suite de termes de la fotme

pour les valeurs de i plus grandes que l'unité. Or , on a

r^Wx+NW)^ (■ 'm%x—<^dx

J [{x-aT+n~J [(^ -«)'+?"]'■

en posant, pour simplifier ,

Il vient ensuite

y" dt Ç dt r edt ,gv

D'ailleurs, le procédé de l'intégration par parties, appliqué à la fonction

^di t ^tdt

donne

r edt t i i r dt

J{e+ ly— 2^— 1)(^^+ 1)-' "^ 2{i- i)J{e+ ly-'*

Par la substitution de cette valeur dans l'équation (6), on obtient

f dt t a^— 3 f dt

Mais en appliquant le même procédé,, on ramène l'intégrale

et finalement de Tintégrale

dt

= arc tang 1 4- oonst. ;

après quoi, il n'y a plus qu'à remettre pour t sa valeur en fonction de x.

En résumé, cette analyse montre que l'on ramène à la résolution des équations algébriques l'intégration de toute fonction différentielle, rationnelle et fractionnaire; et que l'intégrale d'une fonction de cette espèce s'exprime toujours par des fonctions algébriques rationnelles, et par des fonctions logarithmiques et circulaires.

299. Quand la fonction différentielle, sans cesser d'être algébrique, devient irrationnelle, son intégrale, lorsqu'elle existe sous forme algébrique, doit renfer-

mer tous les radicaux irréductili>les qui entrent dans la ^nçtîon différentielle, et n'en peut pas renfermer d'autres : ce qui revient à dire que l'aire d'une courbe algébrique doit avoir , en fonction de l'abscissç , précisément autant de valeurs (réelles ou imaginaires) que l'ordonnée en comporte , ou autant que la courbe a de branches (réelles ou imaginaires).

Deux habiles géomètres de cçtte époque, Abel et M. Liouville, ont fait connaître des méthodes d'après lesquelles on peut reconnaître si une fonction irrationnelle comporte une intégrale algébrique ou logarithmique, et trouver directement cette intégrale, quand elle est possible. Mais nous ne les suivrons pas dans ces généralités , plus intéressantes pour le perfectionnement de la théorie que pour l'utilité des applications.

Les fonctions dont l'irrationnalité tient à la présence d'un radical carré sont celles qui se présentent le plus souvent dans les questions de géométrie et de mécanique , et il convient que nous nous occupions plus spécialement de l'intégration des fonctions de cette classe.

§ 2. Fonctions à radical carre, recouvrant un polynôme du premier ou du second degrés

300. Si, dans la fonction à>intégrer, entrent rationnellement la variable j; et le radical

en sorte que, cette fonction étant mise: sous la foripe

/(x,R).cir, {ey

y soit une fonction algébrique rationnelle de :c et de R ^

on posera

}/7:fbZ = t, (7)

d'où

t^ — a , 2tdt /Q\

12 LIVRE V. CHA.PITAE I.

au moyen de quoi la fonction proposée deviendra de la forme Ftdt^ Ft désignant une fonction rationnelle de t. Admettons que le radical recouvre un polynôme du second degré, ou qu'on ait

On pourra, sans restreindre la généralité, poser c=i y ce qui revient à changer .r en — -=, en conservant d'ail-

leurs aux constantes a , b leur indétermination. Soit en premier lieu

R = i^a -f- Aar -4- j:» :

on posera ce qui donne

et par la substitution de ces valeurs la fonction (e) sera rendue rationnelle.

S'il s'agit de se débarrasser d'un radical de la forme

on représentera par a, ^ les racines de l'équation

jr' — ôo:-— a=o, racines que nous supposerons réelles, sans quoi le radical, restant constamment imaginaire, rendrait imaginaires tous les éléments de l'intégrale , et par conséquent l'intégrale même.

On posera ensuite

V^a + èx — x*= V/(ar— a) i^—x) = (^ — a)r,

d'où

et la substitution fera disparaître Tirrationnalité, comme dans le cas précédent.

L'irrationnalité peut encore être levée, lorsqu'elle tient à la présence simultanée dans la fonction y*de deux radicaux

car, en vertu des équations (7) et (8), on aura

ce qui fait retomber sur le cas précédemment traité. Exemples :

I djr=:

\^ a + ^a? -f- ex* \ \ b . . ,

2° dxz=z

cx^

^ \/c ^^ ^CX — b+V^b*^Aac ^ '

Pour

la formule (9) donne

y = log (ar+ l/i-4-«i) H- const.^

ce qui s'accorde avec l'une des équations du n® 68.

Pour

. , dx ^r = ,> -1

on tire de la formule (10)

j = — aarctangy/ + const.

=' — arc tang h const, (1 1)

Mais on sait d'ailleurs que la valeur de ^ est dans ce cas

y = arc sin x -h consU (i a)

Il faut donc que les expressions (ii) et (itx) rentrent Tune dans l'autre ^ et en efTet, si l'on pose

arc sin ^ = 9 , ou or = sin 9, les équations (ii) et (12) donneront

/= {- <f + const.j jrz=:<f + const.y

expressions équivalentes ^ à cause de l'indétermination des constantes arbitraires.

*^ 3. Fonctions à radical carré, recouvrant un polynôme

du quatrième degrë.

301. Nous allons entrer dans une analyse beaucoup plus compliquée en discutant le cas important oii le radical qui entre dans la fonction / est de la forme

et nous remarquerons d'abord qu'on peut y ramener celui où la fonction renfermerait deux radicaux

car on chasserait le premier en posant^ d'après ce qui a été ditci-.dessus,

f—OL

et la substitution de cette valeur de x dans le second radical le changerait en un radical de la forme (/).

Nous ferons remarquer en secoiid lieu que toute intégrale de la forme

/* désignant une fonction algébrique par rapport à a: et

à R, peut être ramenée à dépendre d'une autre intégrale

de la forme

Ta:

R F désignant une fonction rationnelle. En effet,,/* (^,R) ^^

peut avoir que la forme

O + RV ^, ^y ^y W désignant des fonctiotis rationnelles de x. Or, si l'on multiplie les deux termes de cette fraction par <^-R^, on la mettra sous la forme

<p<> — R'(];^ (yiF — <{»^)R' i^

qui équivaut à

f, F désignant deux fonctions rationnelles de x.

302. Pour simplifier l'expression du radical R, sans nuire à la généralité du problème d'intégration qui nous occupe, désignons par t une nouvelle variable, et posons

nous pourrons disposer des coefficients r et s^ de manière à faire évanouir dans le polynôme R' les coefficients des puissances impaires de t;'et il s'agit de prouver qu'on satisfait toujours à cette double condition par des valeurs réelles de r, s.

Mettons le polynôme R* sous la forme

<a:— a)(;r — p)(a: — y)(^ — *), a, ^, y, ^ étant les racines de l'équation R^=x>. On aura, en substituant pour x sa valeur en tj

et l'on fera évanouir les puissances impaires de /, si l'on

pose

(r y)(5 — J)H-(r— *J(5— Y)=o, ou bien

ikrs — (a-f- P) ('•+ ^) + aap=o, d'où

Or, diaprés la composition des équations du second

degré^ ret ^ seront des quantités réelles, si les valeurs de

r-l-^ et de rj sont elles-mêmes réelles, et si l'on a en

outre

(r+5)' — 4r5>o, ou, en substituant.

Lorsque les quatre racines a, p, y, ^ sont réelles, il est permis de supposer que ces lettres les désignent suivant leur ordre de grandeur; la troisième condition sera satisfaite, et les deux autres le seront indépendamment de toute supposition.

Si deux racines sont imaginaires, en sorte qu'on ait

les valeurs de r -|- ,$• et de rs ne cesseront pas detrc réelles : l'inégalité (i3) deviendra

et sera par conséquence vérifiée. On prouverait aussi facilement qu'il en est encore de même, quand les quatre racines sont imaginaires.

A la vérité, si l'on supposait a-|- pzzzy-|-^, les valeurs de r^s et de rs deviendraient infinies; mais on aurait en même temps

R« = e[^» — (a 4- P}Jî + «P] [a:-— (a 4- P)^ + y*] ;

en sorte qu'il suffirait de poser

a-HP

pour faire évanouir dans R les puissances impaires de L Une autre exception se présenterait, si l'on avait a=y, P = J; car alors les valeurs de r-|- j,av prendraient la forme \ ; mais il est visible que dans ce cas le polynôme R^ deviendrait un carré parfait, et que la fonction à intégrer serait rationnelle.