QUADRATURE DES (BOURBES PLANES

ce qui équivaut à

l/x^ — ai .dx=:^X l/'ar*-^a* log {x+ V^ x» — a*)-^COnst. ,

en comprenant dans la constante arbitraire le terme

-7 log a*= -y log ^ -4- — log(ar4-K «»— a»).

£n conséquence, oa trouve pour la valeur de Taire hyperbolique kpm (^. 84) :

b fx ^ . bx . ab, /x+l/ic»— fl»\

U=z- I \/ x^—an . da;=: — Karl— a> logf )

aj a aa a °V « /

Donc

secteur 0/nA= — log f - "^ t )'

ce qui entraîne comme conséquence que Taire comprise entre ITiyperbole et ses asymptotes est infinie.

L'aire de Thyperbole dépend d'une fonction logarithmique, de même que Taire de l'ellipse dépend d'une fonction circulaire. L'analogie géométrique de l'ellipse et de Thyperbole correspond à l'analogie des fonctions trigonométriques et exponentielles, et de leurs inverses , les arcs de cercle et les logarithmes.

L'équation de Thyperbole équilatère, rapportée à ses asymptotes, étant

Taire de l'espace asymptotique compris entre les ordonnées qui répondent aux abscisses x^^ x, a pour valeur

et si Ton prend a == J/a, '^q=t? *! vient simplement

u=lo^ X. Ainsi les logarithmes népériens peuvent être considérés comme donnés par les aires d'une hyperbole équilatère. C'est pour ce motif qu'on les a longtemps désignés par la dénomination de logarithmes hyperboliques; mais cette dénomination était mal choisie, puisque, si l'on donne à la constante a une valeur convenable, la fonction m, déterminée par l'équation (i), représentera également bien tout autre système de logarithmes. On sait en effet [64] que les logarithmes à baàe quelconque se déduisent des logarithmes népériens quand on multiplie ceux-ci par un module constant pour chaque base.

L'équation (i) cesse d'avoir lieu, ainsi qu'on l'a expliqué [99]» quand la valeur x=o, qui rend infini le coefficient de dx sous le signe yj tombe entre les limites de l'intégration. En conséquence, on ne peut exprimer par cette formule l'aire qui serait limitée par deux ordonnées de signes contraires, appartenant à deux branches de la courbe.

On peut toujours passer, par des additions ou des soustractions de polygones rectilignes, de l'aire d'une courbe rapportée à un système de coordonnées rectilignes, obliques ou rectangulaires, à l'aire de cette courbe prise dans un autre système de coordonnées rectilignes. Telle est la raison pour laquelle la fonction logarithmique, qui s'offre immédiatement dans le calcul de l'aire de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes, reparaît à la suite de diverses transformations, quand on rapporte l'hyperbole à ses axes.

340. En mettant l'équation de la logarithmique sous la forme jzzize^^ on aura

e'dx = e* — I ,

QUADHATURE DSS COURBES PLANES. 71

valeur qui se réduit à — i quand on fait x=i — ^ . Ainsi Taire de l'espace compris entre Fordonnée OB (Jig. 79), la courbe BM' prolongée à l'infini du côté des abscisses négatives^ et l'asymptote OX', aussi prolongée à l'infini, a une valeur finie, égale au carré construit sur la droite OB.

La cycloîde étant donnée, comme dans le n"" 1 76, par le système des deux équations.

X = R({p — sin <p), y= R(ï — cos «p), on aura

a=/ jrdxss'R^I ^(i — cos<p)*flRp Jo Jo

= R'd ^ — a sin y -f- j sin aç).

On prendra pour la limite supérieure de l'intégrale <p=ai7, afin d'avoir l'aire comprise entre un arceau et la base de la cycloîde, ce qui donnera i£=3i7R^, c'est-àdire le triple de l'aire du cercle générateur. La formule qui précède s'étend d'elle-même à des valeurs quelconques de 9 et à la quadrature d'un nombre quelconque d'arceaux.

341. L'aire limitée par une courbe plane fermée est une quantité indépendante du système des coordonnées auxquelles on rapporte la courbe; et cette aire, que nous désignerons par U, est ordinairement celle que l'on se propose de déterminer dans un problème de quadrature. Si la courbe est algébrique, son équation F(j;,^)=o donne au moins deux racines ^=fx^,^=f,x, correspondant à la même abscisse, et dans ce cas on a

U z=zj ' ( f,j; — i^^dx = / ' i^xdx — / ' Uxdx :

f^x désignant l'ordonnée de l'arc m^ /i^ m^ CA§'*Bo),fa«^ celle de l'arc m^ n^ /Wj, ^^ et :r,, les abscisses des droites

//^o/^o ^^ni^p^ qui limitent la courbe paraiièlement à l'axe des y. Les arcs m^n^m^y m^ n^ /w, pourraient d'ailleurs appartenir à des courbes algébriques difierentes, ou à des courbes non algébriques, et éprouver dans leur cours des solutions de continuité du second ordre ou des ordres supérieurs. L'intégrale U se décomposerait sans difficulté en un plus grand nombre d'intégrales partielles, si la courbe fermée affectait des sinuosités, comme celles qui sont indiquées sur la fig. 8 1 .

L'aire d'une courbe, telle qu'on la définit dans le système des. coordonnées polaires [i8o], ayant pour différentielle

sera donnée par la formule

dans laquelle il faudra substituer pour r^ sa valeur en fonction de <p donnée par l'équation polaire. Si la courbe est fermée et comprend dans son intérieur l'origine des rayons vecteurs^ de manière que, pour chaque valeur de 9 comprise entre o et gix, r^ ait une valeur réelle et unique, il vient

La courbe étant toujours fermée, et le pôle se trouvant dans l'intérieur de la courbe, il peut se faire, si elle offre des sinuosités, que, pour les valeurs de <p comprises entre de certaines limites, r* ait 3 ou 5, ou en général un nombre impair de racines réelles. Au contraire, si le pôle se trouvait hors de l'enceinte formée par la courbe, r^ aurait toujours un nombre pair de racines réelles. Dans toutes ces circonstances qu'il suffit d'indiquer, l'in-

tégrale U se décompose en diverses intégrales partielles, ayant chacune des limites particulières.

§ a. Rectification des courbes.

342. Le problème de la rectification des courbes est une application importante du calcul intégral, au sujet de laquelle nous croyons devoir entrer dans quelques éclaircissements que l'on néglige pour l'ordinaire.

En désignant par s la longueur de l'arc d'une courbe plane, dont x et fx sont les coordonnées rectangulaires, on a [174]

ds = [/i'^(fxy.dx,

et par conséquent,

V^i + (/'^)».flir, (s)

Xo étant l'abscisse du point de la courbe, à partir duquel l'arc est mesuré.

Pour que le coefficient de dx sous le signe / devienne infini, il faut et il suffit que f'x passe aussi par l'infini; mais dans ce cas même la formule (s) ne devient pas illusoire, si Jx conserve une valeur finie. Soit en çfTet ^ la valeur de x qui TGtxAf^x infinie : d'après ce qu'on a vu [322],^ conservera néanmoins une limite finie, si le produit {x — ^)f'^ converge vers une valeur finie ou vers zéro, pendant que x s'approcbe de plus en plus de la valeur ^. Or cette limite est la même que celle du produit

et par conséquent, dans le cas où l'ordonnée de la courbe conserve une valeur finie, quoique la tangente «oit perpendiculaire à l'axe des x^ la formule (j) ne tombe pas en défaut.

Elle tomberait en défaut, mais d'une autre manière, si fx et f^x devenaient imaginaires pour certaines valeurs de X et que cependant le radical \/\-^{fxY restât réel. Si par exemple on avait

ou bien [^Sq]

/r = - X\/x^—ï ]0g(:F + l/ar»— x) + COnSt, ,

la formule {s) donnerait

fx I

s=z I xcb;=z-(x* — jf.);

et la valeur de s demeurerait réelle, même pour des valeurs de X numériquement plus petites que l'unité^ qui rendent/*'^ et^ imaginaires.