Une intégrale définie , telle que

f{a;,ct)dx,

varie avec la valeur attribuée au paramètre a dans la fonction J[x,ol). C'est une nouvelle fonction de a , d'où la variable x a disparu , et que nous pouvons indiquer par Fa. Admettons maintenant que a reçoive Tincrément infiniment petit doL : on aura

ou

ou bien enfin , à cause que le facteur da ne varie point

avec X ,

d.Fa ràd.f{x,à)

dct J a dùL

et en remettant pour Fa sa valeur ,

dùL J a da '

ce qui montre que Ton peut faire passer sous le signe / le signe de différentiation placé en dehors y et réciproque- T. n. 8

ment ; au moins lorsque les limites de l'intégration sont indépendantes du paramètre variable.

Si Ton avait au contraire

il viendrait, dans le cas où Tiiitégrale pourrait être traitée comme une somme d'éléments différentiels,

J a-\-da «a

d'où l'on tire, en négligeant les infiniment petits du second ordre, et en mettant pour a, b^ da, db^ leurs valeurs ,

^-/(9a,a) . 9'aâSx +/(^,a) . ^ Wa, et par suite

'd^~J oc -^^T^^— /(?«»«) -T^+ZC^*)' fa- Ce calcul suppose que la fonction ./(^,a) ne devient point infinie entre les limites de l'intégrale : les résultats en seront rendus plus sensibles par une construction graphique. Soit MN {Jig, 88) la courbe qui a pour abscisse x et pour ordonnée /'(j;,a), de manière que l'intégrale définie Fa mesure l'aire comprise entre la courbe MN, l'axe des abscisses et les ordonnées MP,NQ qui correspondent respectivement aux abscisses OP=a, OQ = è. Par la variation de l'ordonnée courante (les abscisses des points extrêmes ne changeant pas) , la courbe se transporte en IM'KN% et l'aire augmente du quadrilatère curviligne

DE hk VARIATION DES INTEGRALES. 115

MNKI. Par la variation des limites a, b qui deviennent a -|- cla=OV jà^db=^ OQ' (^l'ordonnée courante ne changeant pas), l'aire augmente du quadrilatère NQQ'K' et diminue du quadrilatère MPPT. Ces trois quadrilatères j traités comme des quantités infiniment petites du premier ordre , ont respectivement pour mesure

les quadrilatères MIMT, NKN'K' ont pour mesure les termes infiniment petits du second ordre

que Ton néglige dans le calcul de la variation totale de l'aire Fa , lorsqu'on fait varier simultanément l'ordonnée courante /(j;,a) et les limites a^ b.

367. Supposons, pour plus de simplicité, que les limites a, b soient indépendantes de a. On peut demander quelle est la valeur numérique du paramètre a, qui rend un maximum ou un minimum l'intégrale définie

Foi= j J'(XjOL)dx.

Si la fonction Fa pouvait être exprimée algébriquement , on satisferait à la question en prenant pour a la racine de l'équation F'a=o; et comme on a aussi, d'après ce qui précède ,

J a CUL

il suffira que l'intégrale, formant le second membre de cette dernière équation, puisse s'obtenir algébriquement, pour que le problème dont il s'agit soit résoluble par la méthode ordinaire des maxima et minimu. Dans l'hypothèse contraire, et sauf quelques cas où les conditions

de maximum ou de minimum se déduisent immédiatement de la forme de l'intégrale, il faudra construire par points 9 au moyen de quadratures numériques, la courbe dont l'ordonnée est Fa, l'abscisse étant a : on déterminera ensuite graphiquement les maxima et m,inimaàt cette ordonnée.

368. Admettons maintenant que a désigne, non plus un nombre constant dans toute l'étendue de l'intégration relative à x^ mais une quantité qui varie avec a:; et pour mieux indiquer cette circonstance, substituons à la lettre a la lettre j^, par laquelle on a coutume de désigner une fonction de x. On peut demander quelle doit être la valeur de^ en fonction^ de x^ qui rend un muximum ou un minimum l'intégrale définie

h f(x,y)dx:, (i)

et même il arrive que ce problème, très-distinct du précédent, se résout sans intégration préalable. En effet, il est clair que si l'on détermine la valeur de^ en ^ par réquation

dy "^^ W

chacun des éléments de l'intégrale obtiendra la plus grande ou la plus petite valeur dont il est susceptible; en sorte que l'intégrale même , formée par la somme de ces éléments, obtiendra sa valeur maximum ou minimum. Toutefois, ce raisonnement suppose i*' que l'on peut fconsidérer l'intégrale comme une somme d'éléments, en sorte que la fonction y(a;^) ne devient point infinie dans l'étendue de l'intégration ; tP que la valeur de^ en x tirée de l'équation (a) TQnà f{x^) constamment un maximum ou constamment un mimmwn dans

toute l'étendue de l'intégration. Le problème changerait de nature si ces conditions n'étaient pas satisfaites.

J 2. Principes de la méthode connue sous le nom de Calcul

des variations,

369. Ceci nous mène à examiner un cas plus général et susceptible d'applications beaucoup plus importantes : celui où la fonction sous le signe /contient non-seulement^, mais ses dérivées ^',^", etc., et où il s'agit d'assigner la valeur dejren x^ qui rend l'intégrale proposée un maximum ou un minimum. Il est clair qu'on De peut assigner la fonction /=<p^ dans l'étendue de Fintégrale, sans déterminer par cela même les fonctions dérivées ^x^ ¥'^t etc., ni faire varier cette fonction sans que toutes les dérivées éprouvent des variations correspondantes. La variation de l'intégrale est donc déterminée implicitement par la seule variation de la fonction^; et toute la difficulté du problème consiste à mettre en évidence , à rendre explicites les liaisons de la variation dej^ aux variations subordonnées de ses dérivées. Telle est la question dont Lagrange a donné la solution la plus élégante en employant un algorithme particulier, que l'on nomme le Calcul des variations, et qui n'est au fond qu'une modiâcation heureuse de l'algorithme différentiel, dans son application à la variation des intégrales , où une fonction inconnue se trouve mêlée sous le signe /avec ses dérivées.

370. On est sans cesse conduit , dans l'analyse , à considérer des fonctions sujettes à éprouver des variations distinctes et indépendantes les unes des autres : toutes les fonctions de plusieurs variables indépendantes se trouvent dans ce cas ; mais rien n'est plus propre que la

considération des mouvements d'un système matériel à faire nettement concevoir la coexistence de plusieurs modes distincts de variabilité.

Imaginons un fil flexible, non tendu, fixé par les deux bouts, et qui se déplace en se déformant ; et admettons seulement, pour plus de simplicité, que la courbe tracée par le fil reste toujours comprise dans le même plan. Les coordonnées x^jy de chaque point du fil , rapportées à des axes fixes dans le plan, la direction de la tangente en ce point, la grandeur et la direction du rayon de courbure, varieront par suite de la déformation du fil ; et il ne faudra pas confondre ces variations avec celles qu'engendre le passage d'un point du fit à un autre point matériel infiniment voisin.

En général, il est utile, pour prévenir toute ambiguïté , d'indiquer par des caractéristiques différentes les variations qui se rapportent à des modes de variabilité distincts. Ainsi l'on pourrait désigner par d^z, djZ [il 8] les différentielles prises par rapport à :r et par rapport à j d'une fonction z des deux variables indépendantes ^, ^; et si l'on est dans l'usage de supprimer les indices des différentielles dz , c'est à cause des dénominateurs dxy dj qui les accompagnent presque constamment, et qui lèvent l'ambiguïté comme les indices pourraient le faire.

Dans la question présente, où il s'agit uniquement d'éliminer de l'expression de la variation d'une intégrale les variations subordonnées, telles que celles de

~- ou de fl^, pour ne conserver que les variations qui

restent indépendantes et arbitraires, comme celle de/, nous considérons cette variation de y d'une manière

PRINCIPES DV CALCUL DES VARlÀTIOITS. 119

absolument générale, et non par rapport à une variable déterminée, autre que Xy dont^ dépendrait. Dès lors ce n'est ni par des indices ni par des dénominateurs que l'on peut distinguer la différentielle djr^ provenant du changement d'abscisse, de l'autre variation de^, pro* venant du changement de forme attribué à la fonction ^=z=çp;r; bien qu'on reste libre de concevoir que ce chan* gement de forme est dû à la variation d'un paramètre quelconque contenu dans la fonction (fX. On est convenu en conséquence de désigner par la caractéristique 8 les variations infiniment petites dues au changement de forme de la fonction, et on les appelle spécialement t;ariationSy en coîitinuant d'appeler différentielles les variations exprimées par le signe d^ qui pix)vrennent du changement d'abscisses ou du passage d'un élément du système matériel à l'élément contigu.

371. Supposons donc que, par suite de la variation dont ^ est la caractéristique, la courbe MN {fig' 88), qui a pour ordonnée jk, se trouve transportée en M'N' : les points m\m\ de la seconde courbe correspondant aux points m^rn^ de la première, et ceux-ci aux abscisses x^ x-^dx. On aura

mp =jr, m^p^ ==/ -f- dy^ m'p' =^y + $r, ni^p\ = TOj/7j + J . mjp^ = rd^ + d.m!p\ ou bien

jr+dx+^{y + dy)=y + ^y+d{y -^^y),

et par conséquent

Ur^dhy. (3)

Donc on aura aussi

8d'jr=dyy=:d'Sjr,

et en général

relation d'après laquelle on peut toujours transporter la

caractéristique è après la caractéristique d. Ou voit au reste que cette relation subsisterait, lors même que les caractéristiques dj 8 n'indiqueraient pas des variations infiniment petites; ou plutôt qu'elle ne subsiste à cette limite que parce qu'elle a lieu pour des variations finies quelconques. D'ailleurs la formule (3) que l'on peut remplacer par

o€lz=sido:^y

équivaut, d'après les explications que l'on vient de donner,

à la formule

dgdjZ =3 djdgZ y

démontrée au n"* 1 23.

Le raisonnement du n"" 366, qui étabKt la possibilité d'intervertir l'ordre des signes /^ d^ s'applique égalem^it à l'interversion des signes /^ ^ : on aura donc

C'est dans cette transposition des signes que consiste la première règle fondamentale de la méthode des variations.

372. Cela posé, s'il s'agit de trouver la variation d'une intégrale définie

'^"" ydx, (V)

(dans laquelle V est une fonction de x^/^y^)r\ etc., ou^ ce qui revient au même, une fonction de x^^djr^d^jy^eXc)^ et si le développement de la variation donne un terme de la forme

on changera d'abord cette expression en

PRINCIPES DU GALCDL DES VARIATIONS. 12t

On aura ensuite en intégrant par parties ^ et en désignant, pour simplifier, par

la valeur d'une fonction U à la limite supérieure de l'intégrale, moins sa valeur à la limite inférieure,

On trouverait de même, en effectuant successivement deux, intégrations par parties,

et ainsi de suite; de manière qu'il ne restera sous le signe y que des termes multipliés par la variation ^: les variations ^dj-^^dy-y etc., en ayant été chassées ainsi qu'on l'avait en vue [369]. Ces réductions constituent la seconde règle fondamentale du calcul des variations» 373. On obtiendra de la manière la plus générale la variation de l'intégrale définie (V), si l'on fait varier à la fois, non-seulement la fonction^ et ses différentielles rf^, d^j-y etc. , mais encore la variable x et sa différentielle dx : ce qui revient à supposer que chaque point du fil flexible pris pour exemple [370] se déplace ou peut se déplacer d'une manière quelconque dans le sens des abscisses Xj comme dans celui des ordonnées^. Ceci convenu, soit

rfV=Xflte + Ydjr+ Y(')dy 4- Yi^)dy + Y^^^df + etc., X,Y,Y("),Y(*),Y^5), etc., désignant des fonctions de ^^X^y^y^y^^ ^^^m q^© l'^n trouve par la dififérentiation dès que la fonction Y est donnée : on aura aussi

8Y=X8a: + Y8f+Y(')8y + ¥(>%' + YC^)^^"' -h etc., et d'après ce qui vient d'être explique.

Les valeurs de dY et de 5V donnent

+ Yi-)[dx8x" —dy "îa:) + Y^%dxtf' — rf/" J^) + etc.

On a d'autre part

^ ^rf/ c^Jé^ — dy^dx d'^y — yd^x

•^ dx dx* dx

dx

>/„■'' '»-^*-) +/-».. eu,.

Donc, si l'on pose, pour abréger,

la substitution donnera

^- r^" [Y^Jm+YC'WJm+YC'W.^H- Y(5W.^ + etc.].

On intégrera par parties, suivant la règle du n* précédent, autant de fois qu'il sera nécessaire pour faire disparaître sous le signe /toutes les caractéristiques d qui affectent la variation ^u. Remettant ensuite pour &« sa valeur, et faisant toujours suivre la caractéristique d de la caractéristique ^, on obtiendra la formule suivante

+(Y(»)— ^+etc.XVTr'*^)+ete.]l }(A)

Il faut remarquer que les dérivées . sont prises en

considérant les fonctions ^,^'^', etc., qui peuvent entrer dans Y^''^ comme des fonctions implicites de x; de sorte que ces dérivées ne seraient par nulles, même quand la variable x n'entrerait pas explicitement dans Y^"^.

Si maintenant on veut que Tintégrale (V) soit un maximum ou un minimum^ il faut que sa variation s'évanouisse, quels que soient les incréments que nous désignons par ^x^ ^, incréments arbitrairement variables avec X dans l'étendue de l'intégrale. Il faut par conséquent que chaque élément de l'intégrale qui reste au second membre de (A) s'évanouisse séparément, et qu'on ait pour cela

Quand le premier membre de l'équation se réduira à une constante, ou à une fonction de la seule variable Xy elle ne pourra servir à déterminer une fonction y=JSfXy qui satisfasse à la condition de maximum ou de minimum^ et le problème sera impossible. £n général, l'équation pourra contenir ia:,^,^',.—^"^ si /^"^ est la plus haute dérivée qui entre dans Y ; car alors le premier membre

de l'équation (a) aura pour dernier terme ± — — ; et

ajF

si Y^") contient ^^''^, la formation de ce terme amènera la dérivée y *"^, à cause que y^^, ainsi qu'on vient de l'expliquer , doit être traité comme une fonction implicite de x.

124 LIVRE V. CHàPITRE VII.

374. Avant d'aller plus loin, nous ferons remarquer que, si Ton ne soumettait pas ^ à la variation exprimée par 8j on si l'on posait Â.r=odans la formule (A), la condition pour que la quantité sous le signe /s'évanouît, clément par élément, conduirait à la même équation (a) : il n'y aurait de changé que la forme des termes qui se rapportent aux limites de l'intégration , et les équations qu'on en déduit en égalant ces termes à zéro, pour que la variation totale de l'intégrale s'évanouisse. Ce résultat s'explique et se démontre directement par des considérations géométriques. Soit en effet MN {/îg. 88) la courbe j^=(fx, et M'N' ce que devient cette courbe par la variation de / et de x. Ou peut indifféremment supposer qu'à un point quelconque m de la première courbe , compris entre les points extrêmes, correspond sur la courbe variée un point m^ dont l'abscisse et l'ordonnée diffèrent respectivement de l'abscisse et de l'ordonnée de m, ou un point pi qui a la même abscisse que /72, l'ordonnée seule ayant varié. Mais^ si les points extrêmes M,N n'ont pas les mêmes abscisses que les points extrêmes M',N', il faut bien admettre qu'aux limites les abscisses et les ordonnées ont varié à la fois. Il faut donc avoir égard à cette variabilité des abscisses, dans les équations aux limites, lorsque, par la nature de la question, les abscisses des points extrêmes ne sont pas invariables; et puisqu'il n'importe d'y avoir ou non égard entre les limites, l'équation qui définit le tracé de la courbe entre les limites doit rester la même.

Si l'on attribue une variation à l'abscisse j;, la variation ^, au lieu d'être égale à pi/? — m/?, comme lorsque l'abscisse est invariable, sera w'/?' — rnp. On a

py? = m'p* — m'v = m'p' — in y

PRINCIPES DU CàLCCL DES VARIATIONS. 125

du moins en supposant irii=z^un^ ce qui revient à négliger rinfiniment petit du second ordre d^y : donc

et par conséquent il faudra, pour avoir égard à la variation de .r, remplacer ^j par ^j — -j'^x, dans les formules construites pour l'hypothèse de l'invariabilité de x. Par la même raison il faudra remplacer ^j' par ^y — y^Xj et ainsi de suite.

375. On obtient la relation cherchée jr=<p^, qui satisfait à la condition du maximum ou du minimum^ en intégrant l'équation («), c'est-à-dire [164] en remontant de cette équation entrea;,^^^',....^*"\ à l'équation en Xyf^ dont elle dérive , et qui est de la forme

^(^,^, a,, fla,. . .flai.) = o, (a)

dx^d^yM^n désignant nn constantes ou paramètres arbitraires. Nous traiterons plus tard de l'intégration des équations différentielles : il suffit, quant à présent, d'indiquer comment les constantes arbitraires que l'intégration doit amener, se déterminent d'après les données de la question.

Lorsqu'on égale à zéro le second membre de l'équation (A), après avoir supprimé le terme affecté du signe /, qui disparaît en vertu de l'équation (a), il reste

[VÎX+ (Y(0 + -^- etc.) i^x-r^x)

+ (YW — ^ + etc.) {^f ^f^x) + etc.] l =0. {b) On peut mettre cette équation sous la forme

^ (a>, + Y,$r, + roC')^fyo +...+ Yo(«-')*ro^«-'))^=o, (p)

en désignant par

126 LIVBE V. CHAPITRE Vil.

des fonctions connues des valeurs initiales j:o,7'o,^^y etc., et par

des fonctions composées respectivement de la même manière avec les valeurs finales x^^y^^\^ etc. Cela posé, si i les valeurs des quantités extrêmes

sont des constantes fournies immédiatement par les données de la question, leurs variations

^j^o> ^x^^ hoy ^r.; ^/c ^y«; etc. {e)

sont nulles : l'équation (p) se trouve satisfaite d'ellemême ; et l'on a , pour déterminer les constantes arbitraires qui entrent dans l'intégrale (a), des équations en même nombre que ces constantes , et de la forme

^'(^i) royi>««> a.,...a«)=o; etc. :

la fonction ^' étant donnée par la différentiation immédiate de la fonction ^^ et ainsi de suite.

Si l'on ne donne aucune des valeurs des quantités (d)^ leurs variations sont indéterminées et indépendantes. On ne peut donc satisfaire à l'équation (p) qu'en égalant séparément à zéro chacun des facteurs (Co),(c,); et les équations ainsi obtenues tiennent lieu de celles qui donneraient directement les valeurs des quantités (</); en sorte qu'on a toujours des conditions en nombre suffisant pour déterminer les constantes arbitraires qui entrent dans l'intégrale (a).

Enfin, si l'on a, entre les quantités (</), un certain nombre d'équations de condition /.*= 0,^=0, etc., on

en déduira [i54] des relations entre les variations (e), exprimées par

*/x = o, ^/.=o, etc. (/)

On éliminera de l'équation (p), au moyen des équations (f), autant de variations qu'il y a d'unités dans le nombre des équations (/); puis on égalera séparément à zéro les multiplicateurs des variations non éliminées et demeurées arbitraires, ce qui fera rentrer ce cas dans ceux qu'on a considérés d'abord.

376. Il convient de remarquer aussi que la fonction V pourrait contenir une ou plusieurs des valeurs extrêmes (r/) qui figurent essentiellement dans l'équation (PV On doit alors, en prenant la variation ^V, faire varier les quantités dont il s'agit, à moins que leurs valeurs ne soient constantes par les données de la question. Si ,

par exemple, V renfermait x^^ et qu'on eût-— = 6, la

variation de V, par rapport à cette quantité, serait G^oTo; et, en désignant par % la fonction J^dxy on aurait dans l'équation (A), et par suite dans l'équation (^), un nouveau terme

mais l'équation (a) n'en serait pas changée.

377. Admettons maintenant que la fonction Y contienne deux fonctions jr,2 de la variable .r, et leurs dérivées j^', z\y\ z''\ etc., comme cela se présente dans les problèmes relatifs aux lignes à double courbure : on posera

rfV=Xéir+Yrfr+ Y(Orfj' + YCOrfj" + Y(3Wy''+ etc. + Zrfz + ZC'Wz' + ZC^Wz" + Z(3)rf^'" + etc.;

et sans qu'il soit besoin de répéter les calculs qui ont donné la formule (A), nous pourrons écrire

if^'\dx=[nx]i

+ [(Y('>-^+etc.)(*r-yJx)+(Y(«)-^+etc.)(V-y»^)+etc.]i + [(z(')f^ +etc.)(5z-z'5x)+(Z(0-f^ + etc.)(*z'-z'Sa?)+etcl:

Cette formule conduit d'abord aux deux équations

Z — ^ £^)rf^

qui sont en général des équations différentielles simul« tanées[i65]y dont l'intégration se ramène, comme on l'a vu, à celle d'une équation ordinaire à deux variables. Sup* posons que cette intégration soit effectuée, et qu'on ait trouvé les valeurs dej-jZ en x, qui satisfont de la manière la plus générale, par la présence d'un nombre convenable de constantes arbitraires, aux équations précédentes : il restera à fixer les valeurs de ces constantes arbitraires, au moyen des conditions relatives aux limites de l'intégrale. Il n'est pas nécessaire d'insister davantage ici sur cette extension des calculs indiqués plus haut [375].