Les variables x^^z peuvent être liées par une équation

comme dans les problèmes où il s'agit de lignes assujetties à se trouver sur une surface donnée : il en résulte

PRINCIPES DU GàLCUL DES VARIATIONS. 129

dF^ rfF. rfF.

ax ay az

Au moyen de cette équation, on chassera ^z de la formule (B); et en prenant la partie sous le signe /J si l'on égale à zéro, après la substitution, le coefficient de ^j ou celui de ^:r indifféremment, on aura l'équation différentielle

d'oïl l'on pourra chasser z au moyen de l'équation {g).

379. Si le nombre des variables et des équations de condition était plus considérable, on rendrait le calcul d'élimination plus élégant en employant la méthode des multiplicateurs [i54]; mais Femploi de cette méthode mérite surtout d'être remarqué, lorsque les équations de condition renferment non-seulement les variables .r,^,2,... mais encore leurs dérivées ^',^V- z\z'\... etc.: il s'agit alors de ramener les variations des fonctions dérivées à ne dépendre que des variations des fonctions primitives.

Soit donc

^^>r^fo'\' • • h^'r^\ ...)== o, (A)

une telle équatipn : on aura JF=o, et aussi >.^F==o, \ désignant un multiplicateur indéterminé; et puisque celle équation doit subsister pour toutes les valeurs de •r^,z,.... comprises entre les limites de l'intégration, on aura encore

mais alors X désigne un facteur susceptible de varier d'une abscisse à l'autre, ou une fonction inconnue de .r. L'équation («) est la somme d'une infinité d'équations

'k^Fdûc^o, pour chacune desquelles les variables x,/,z,... et le coefficient 1 auraient en général des valeurs difTérentes.

Ainsi les valeurs dejr,2, en fonction de x qui rendront nulle

annuleront aust^i

"^^'{^.ydx^-yJSFiLjc). {k)

Suivant les règles de l'élimination par la méthode des multiplicateurs , on doit , après l'introduction de l'indéterminée X, traiter ^,z comme des fonctions de x, indépendantes l'une de l'autre; de sorte que« si l'on pose

d¥ = yidx + ^dx+Y^^)df + y(^W/" -+- etc. + zrfz 4- zC'Wz' + zWrfz" + etc.,

et qu'on égale séparément à zéro les facteurs de ^jy^^z sous le signe yî après qu'on aura appliqué à l'intégrale [k) la méthode ordinaire des variations, il viendra

Y -j 1 — -j—- -etc.+XY j 1 — -=-~ etc.:

dx dx^ dx dx^ . .«

^ dUA ^«2(0 ^ rf.)cz(0 d^Xti-) '^^

Z — -j h —T-L — etc.-f-Az j 1 r-;^ etc.:

dx ^dx* dx dx

Les trois équations (h) et (/), étant intégrées simultanément, donneront les valeurs de \yjZ en fonction de x et des constantes arbitraires ; et par l'élimination de >. on pourra obtenir séparément les valeurs dejy^z en fonction de X et des constantes venues à la suite de l'intégration. Les équations aux limites, étant traitées d'une manière analogue, détermineront les valeurs initiales et finales des fonctions \^yZ, et de leurs dérivées, et par suite les constantes arbitraires amenées par l'intégration.

C'est principalement dans les applications du calcul de la variation des intégrales aux problèmes de mécanique où Ton considère les corps comme des masses continues, que cette théorie des multiplicateurs variables reçoit des applications importantes pour lesquelles on doit surtout consulter la Mécanique analytique de Lagrangc. Dans les problèmes de cette nature, la foijiction \ n'est plus seulement une variable auxiliaire introduite pour la commodité du calcul : elle désigne une grandeur concrète, dont il est indispensable d'assigner la valeur pour la complète solution du problènie.

380. Ceci nous mène à exppser la théorie des maxima et mwima relotifs. On dit qu'on cherche un maximum ou un minimum r^tif, lorsqu'il s'agit de déterminer la

fonclion j^=?^ qwi rend l'intégrale / ' ydx un inaxi-

mum ou un minimum^ avec la condition qu'une autre

intégrale / * lÂXj dépendaut de la même fonction^,

conserve upe valeur constante. Telle est en général la question qu'on se propose dans les problèmes des isopé-rimètreSy qui consistent à déterminer, parmi ^es courbes de méipe longueur, ou parmi celles pour lesquelles l'intégrale

V/i+y .û/lr

conserve une valeur constante, celle dpnt l'ordonnée ^^

Xq

un maximum ou un minimum.

En pareil cas les variations des coordonnées.r,^, sont liées par l'équation de condition

et si Ton applique te procédé de l'élimination par les multiplicateurs indéterminés^ on en conclura

8f'''Yda:+\8f''*Ldx=o

(X désignant un coefficient constant), ou

sf^'^Y+'k^dx^o. {m)

Le coefficient \ est constant, parce qu'on n'a ici qu'une équation de condition qui porte sur la valeur d'une intégrale, et non plus, comme dans le n® précédent, une infinité d'équations de condition, dont chacune subsiste pour les coordonnées relatives à un élément de l'intégrale. D'ailleurs, il est évident que si / ' ydx a une

valeur maximum ou minimum^ l'intégrale / ' l.Àx étant assujettie à rester constante, la somme

où X désigne un nombre constant, aura aussi une valeur muxîmum ou minimum. La fonction ^=9.r, que Ion déterminera en appliquant à la formule (m) les règles ordinaires du calcul des variations, contient la constante indéterminée \ dont on fixe la valeur par la condition

que l'intégrale / ' hdx , dans laquelle entre j' et par

suite X, ait une valeur constante et donnée.

On peut encore arriver au même résultat de la manière suivante. Posons

/Ldx=iz, ou L — — ==0: (/i)

PRlJfCIPES DU CALCUL DES VARIATIONS. 133

z sera une fonction de x que l'on pourra considérer comme liée à ^ et à a: au moyen de l'équation (/i). Ce sera donc le cas d'appliquer la méthode du n"* 379^ en traitant (/i) comme une équation de condition , ce qui donne

f''h.^'dx + \i.(h — ^dx\=o.

Le terme

J x^ ax J X.

donne dans l'intégration par parties

, dx^z.

dx

La variable z n'entre d'ailleurs ni dans Y ni dans L, en sorte que le terme dépendant de la variation indépendante Âz ne saurait disparaître si l'on ne pose séparément

— ==:o, ou X = CO/î5f.

On a aussi

puisque \ est constant, et que, par hypothèse, la quantité

est pareillement constante; de sorte qu'il n'y a plus qu'à faire évanouir la variation de l'intégrale