DE LA VARIATION DES INTEGRALES DOUBLES

389. Si l'on réunit ces divers résultats, on mettra l'équation (i4) sous la forme

Le coefficient de 8z , sous les signes de double intégration , doit être nul pour toutes les valeurs de Xyj' comprises entre les limites de l'intégrale double, ce qui donne l'équation aux différences partielles entre x,^, z,

dx dy dx* dxdy dy* ' ^ '

Chacune des intégrales simples qui entrent dans l'équation (A) s'étend à tous les éléments de la courbe mjijn^n^ {Jig. 8o) qui trace sur le plan xy les limites de l'intégrale double. Donc, pour tous les systèmes de valeurs de x^jr^ qui correspondent à des points pris sur cette courbe, les variations $z, â/?, ^q doivent satisfaire aux: équations

Enfin il faudra qu'on ait

ou bien

162 LIVRE V. CHAPITRE VIIT.

(S^j3),j,çj,^ désignant ce que devient S8z pour les valeurs x=x,^j"=^iX^j et ainsi desuite.

390. On peut se représenter la variable z comme l'ordonnée d'une surface. Si l'intersection de cette surface avec le cylindre qui se projette en xj* suivant la ligne mjijnji^ était une courbe donnée de position dans l'espace, la variation ^z serait nulle pour tous les points qui appartiennent à cette ligne d'intersection : par suite l'équation (c) serait satisfaite d'elle-même, et les équations {b) se réduiraient à

RS/? = o, T^^rnzro.

Si en outre la nature du problème déterminait la direction du plan tangent à la surface , tout le long de la ligne d'intersection, les variations â/?, ^q s'évanouiraient, et par suite les équations {h) seraient satisfaites d'ellesmêmes.

Lorsque la ligne d'intersection et la direction du plan tangent le long de cette ligne ne sont point déterminées par les conditions du problème, il faut, pour satisfaire aux équations (é), égaler séparément à zéro les coefficients de ^z, ^Pj ^qy c'est-à-dire poser

et ces dernières équations doivent subsister pour tous les points de la ligne d'intersection dont la projection en xf est la courbe mjijn^n^.

391. Dans le but de montrer une application de cette théorie, supposons que l'on demande la surface assujettie à passer par un contour donné, et dont l'aire, dans la portion circonscrite par ce contour, est un minimum. Cette surface ne serait plane que si la ligne de contour par laquelle elle doit passer était comprise dans un