La fonction différentielle

où la variable jr est censée liée à x par une relation quelconque ^=xj^, équivaut à une fonction dififérentielle d'une seule variable ùcdx^ en désignant pour abréger par fx la fonction

de sorte que si Ton pose z=fùcdx^ et par conséquent

dz = ^{x^yix + ^Xyy)djr, (a)

on pourra toujours, quelles que soient les fonctions f , ^, viy ramener aux quadratures la détermination de la fonction z.

Au contraire, si les variables ^ et^ sont considérées comme indépendantes, on ne pourra pas en général déterminer utie fonction z de ces deux variables, telle que réquation (a) soit satisfaite, ni construire dans l'espace une surface dont l'ordonnée z ait une différentielle totale exprimée par le second membre de cette équation* Car^ pour cela, il faudrait qu'on eût

et par suite [ia3]

DES COITDITIOWS D*INTÉGRABILITÉ. 157

dy dx * ^ ^

Quand les fonctions <p et + vérifient Téquation (A), on dit que l'équation (a) satisfait à la condition d^inté-^ grabilité: il existe alors une surface dont on peut représenter par (a) l'équation différentielle, et par z=zf{x^) lequation en x^^z*

394. Dans ce cas, la détermination de la fonction z se ramène aux quadratures ; car, puisque l'on a

il faut que la fonction z soit de la forme

Z z=:ff^x^)dx + 6/,

9j désignant une fonction de la seule variable j^ qui doit être traitée comme une constante dans l'intégration indiquée par rapport à x. De là on tire, en vertu de la règle de différentiation des fonctions sous le signe/* [366] :

^^ I <f{xy)dx+ I Wx^)— I .^.1^^^ dxldj- + const.

Pour qu'effectivement ^jy ne contienne pas x, il faut qu'on ait

dx

ce qui fait retomber sur la condition d'intégrabilité exprimée par réx[uation (b).

Prenons pour exemple la fonction

158 LIVRE V. CHAPITRE ÏX.

, rdx — xdr dzz=z- — ; -^9

q^ui satisfait [ia3] à la coodition d'iotégrabilité : on aura

-i— ; + 6/ = arc tang - + 9/,

df af + x^ djr

et par conséquent dans ce cas très-simple,

z z=z arc tang — |- const,

395. I^orsqu'un point se meut sur la surface z=:f(xyy)^ et que chaque ordonnée z ne rencontre la surface qu'en un point, la différence des valeurs de z au commencement et à la fin du mouvement , ne peut dépendre que des valeurs initiales et finales assignées aux coordonnées Xjj", et nullement de la forme ni de la longueur de la courbe que le mobile a décrite sur la surface entre les deux points extrêmes. Donc, si Ton établit une liaison arbitraire^=xrf,r, entre les variables indépendantes x^y au moyen de quoi la différentielle dz devient une fonction de la seule variable ^, la valeur de l'intégrale définie

doit être indépendante de la forme de la fonction xj. Donc il faut que cette intégrale puisse s'obtenir, sans qu'on ait besoin d'assigner de liaison arbitraire enti*e^' et x; comme eu effet nous venons de voir que cette intégrale s'obtient toutes les fois que la différentielle dz satisfait à la condition d'intégrabilité, ou toutes les fois

rf.er a: ''•««t»°g''

DES CONDITIOirS D INTEGHABILITE. 159

que la variable z peut représenter l'ordonnée d'une surface.

Sî pourtant les deux fonctions «p, ^, ou Tune d'entre elles, devenaient infinies, ou passaient brusquement d'une valeur finie à une autre dans l'étendue de l'intégration, les conclusions qui précèdent devraient être modifiées. En effet, il pourrait alors y avoir plusieurs points de la surface dont la projection en xjr serait la méme^ ou plusieurs valeurs de z correspondant au même système de valeurs des variables Xy^ : en sorte que la différence z — Zo ne dépendrait plus seulement des valeurs initiales et finales de ^,^, mais dépendrait aussi de la série des valeurs par lesquelles ^ et ^ ont passé, ou de la courbe que le point mobile a décrite sur la surface.

Si par exemple la surface est une sphère coupée diamétralement par le plan horizontal des ^, et que le mobile, partant d'un point de l'hémisphère inférieur dont les coordonnées horizontales sont x^^^, arrive à un point dont les coordonnées horizontales sont j;,jr, la différence z — z^ changera, selon que ce point extrême appartiendra à l'hémisphère inférieur ou à l'hémisphère supérieur : mais, dans ce dernier cas, les valeurs de <p, <{; auront passé par l'infini entre les limites des intégrations ; car l'équation de cette sphère est de la forme

Z = ± »/r» — (x— Ç)»— Cr— n)», d'où

^x,x) = -H j/,. (^ çj. (^,), ;

valeurs qui deviennent infinies, quand on a

OU quand le point mobile pénètre le plan ay^ pour passer de l'hémisphère inférieur sur l'hémisphère supé* rieur.

396. Ces considérations s'étendent à des fonctions d'un nombre quelconque de variables. Ainsi^ pour qu'il existe une fonction u de trois variables indépendantes x^y^Zy susceptible de satisfaire à l'équation différentielle

où Xy Y, Z désignent 9 pour abréger, des fonctions des trois variables x^^z^ il faut qu'on ait [fag]

djr dx dz dx dz dy ^^

Réciproquement, lorsque ces équations de condition sont satisfaites, on détermine la fonction u par une suite de quadratures. Ainsi l'on a

d'où l'on tire, en différentiant sous le signe/,

dy dy

et par conséquent

Pour déternliner la fonction x^, on remarquera que

mais, d'un autre côté, en vertu de la précédente équation,

donc

— =Y= Tdx J '

dz

élit — dz

DES CONDITIONS D'lNTiCRABILIT£. 161

et enfin

Pour que la fonction 0(^,z) ne contienne pas Xy il faut qu'on ait

dx dy '

cette condition étant satisfaite, Xz ne contiendra pas .r, si l'on a en outre

dx dz '

et enfin ^z ne contiendra pas^^ pourvu qu'on ait

djr dz On retrouve donc ainsi les trois équations (d). 397. Lorsque la fonction

qui satisfait à l'équation (c), a une valeur déterminée et unique pour chaque point de l'espace, ou pour chaque système de valeurs des coordonnées x^y^z^ si l'on imagine un point matériel mobile, pour lequel la grandeur u prenne en chaque instant la valeur qui lui est assignée par l'équation (^), et si ce mobile passe du point (^0:^09^0) au point {x^y^z)^ la différence

«— "o '=Ax,y,z)—f{x^,y^,z^)

ne peut dépendre que des valeurs initiales et finales attribuées aux coordonnées a:,/,z, et nullement de la forme ni de la longueur de la courbe que le mobile a décrite dans l'espace entre les deux points extrêmes. Donc , si

T. II. ï 1

Ton établit des liaisons arbitraires j^'=xJx, z=jXy entre les variables x^j^^Zy au moyen de quoi la différentielle totale

du = Xda; + Ydf + Zdz

devient une fonction de la seule variable Xj la valeur de l'intégrale

u—u,=zf''{Xda;+Ydj+Ydz)

doit rester indépendante de la forme des fonctions xiJ et ]^. Donc il faut que la valeur numérique de cette intégrale puisse se calculer, sans qu'on ait besoin d'assigner de liaisons arbitraires entre Zy y et x. Le calcul du n** précédent confirme cette vue à priori, en faisant voir comment, lorsque les conditions d'intégrabilité sont satisfaites, la fonction u se détermine par une suite de quadratures, sans qu'il soit nécessaire d'établir de liaisons entre les variables indépendantes.

Toutefois, les formules.de quadrature pourraient devenir illusoires, quant à l'évaluation de la quantités — u^ si les fonctions X, Y, Z, ou seulement l'une d'entre elles, devenaient infinies ou passaient brusquement d'une valeur finie à une autre; et en effet il pourrait arriver dans ce cas que plusieurs valeurs de u correspondissent à uo même système de valeurs des variables o:,^, 2; en sorte que la différence u — u^ ne dépendrait plus seulement des valeurs initiales et finales de x^j^z^ mais dépendrait aussi de la série des valeurs par lesquelles ces variables ont passé, ou de la courbe décrite dans l'espace par le point supposé mobile.

398. On rencontre fréquemment en mécanique des équations de la forme

du z=TLdx -f- Yd;y 4- Zdzy

DES CONDITIONS d'iNTEGRABILITE. 163

dans lesquelles X^Y^Z, fonctions des trois coordonnées JCyjr^ jz, désignent les forces qui sollicitent un point mobile parallèlement aux axes des coordonnées; et des théorèmes importants sont subordonnés à la condition que l'intégrale

u—u.=: I (ILiùr+Ydx+Zdz)

ait une valeur indépendante des re\ationsjr=xia:^z=r^x, ou ne dépende que des positions extrêmes du point mobile, et non de la ligne qu'il a décrite en passant de Tune à l'autre. Or, pour que cette condition restrictive soit satisfaite, il ne suffit pas, ainsi qu'on a coutume de renoncer, que les fonctions X, Y, Z satisfassent aux équations (d)j de manière que l'équation

1idx + Ydjr+Zdz=zo

soit l'équation différentielle commune à une série de surfaces qu'on obtiendrait en faisant varier la constante € dans l'équation u — Mo=c, ou

/(^>rî^)— /(^•î/o,^.)== c.

u faut encore que la fonction u et ses dérivées partielles X, Y,Z ne deviennent point infinies dans l'étendue des intégrations ; et qu'à un même système de valeurs des coordonnées x^j-jZ, ne correspondent pas plusieurs valeurs réelles de c, de telle sorte que les diverses surfaces dont il vient d'être question puissent avoir des points

communs.

399. D'après toutes ces explications, on voit que la théorie de la variation des intégrales, exposée dans les deux chapitres précédents, se rattache naturellement à la recherche des conditions d'intégrabilité , pour les fonctions différentielles de plusieurs variables indépendantes. Il s'agit en effet dans cette recherche de trouver

164 LIVITE V. CHAPITRE IX.

les conditions pour que les changements de valeurs on les variations d'une intégrale définie ne dépendent que des valeurs initiales et finales, assignées aux variables qui entrent sous le signe ^ et nullement des liaisons qu'on pourrait arbitrairement établir entre ces variables dans l'étendue de l'intégration. Or, c'est à quoi s'appliquent immédiatement les formules pour la variation des intégrales, dans lesquelles on fait usage de l'algorithme de Lagrange.

Admettons que la fonction différentielle pour laquelle on veut trouver les conditions d'intégrabilité, renferme, outre les variables x^y^ leurs différentielles des divers ordres jusqu'à l'ordre n inclusivement. Pour que cette fonction ait un sens intelligible, il faut qu'elle se réduise à une fonction de la seule variable x^ quand on assigne entre x ^Ijr une relation jr=ij^ : il faut par conséquent que cette fonction prenne la forme

lorsqu'on y traite x comme une variable indépendante, et j^ comme une fonction de x. L'intégrale de cette fonction, si elle peut en avoir une indépendamment de toute relation entre x et^, sera de la forme

de sorte que l'on pourra poser

et il s'agit de savoir si la valeur de l'intégrale contenue dans le second membre de cette dernière équation peut rester indépendante de la relation arbitraire qu'il faut nécessairement établir entre ^ et x pour rendre la quadrature possible, par les procédés ordinaires.

Afin de conserver les notations employées dans l'avant-dernier chapitre, écrivons

0ES CORDITIOirS D'iirTÉGRABiLITB. 165

dS=: Xtfcr +Yrfr 4-Y('Wy +¥(•«/ +YW<fy"'+ etc. : {/) nous aurons

+ (Y(')^+ etc.) Çiy>-f^^) -H etc.

Cette équation se déduit de la formule (A) du n"* 373, en omettant les termes qui se rapportent à la limite inférieure de l'intégrale, parce que les valeurs de x,^^, etc., à cette limite sont censées constantes, et en supprimant Findice (i), pour mieux marquer que nous considérons comme variables les valeurs de x^y^y^ etc., qui se rapportent à cette limite supérieure.

Maintenant, si, par la forme de la fonction /* ou V, on a identiquement

^ rfY(0 4i»Y(*) rfTr(3)

^ — 5;^-*'-3^~"SF- + "'^=^' ^)

il est clair que la variation de l'intégrale ne dépendra plus que des variations des quantités ocyjr^^ etc., qui se rapportent à la limite supérieure; de façon qu'elle restera indépendante de la relation arbitrairement établie entre ;^ et ^ dans l'étendue de l'intégration.

Donc l'identité {g) exprime la condition d'intégrabilité de la fonction y^ ou la condition pour que cette fonction ait une intégrale F, de l'ordre immédiatement inférieur. Lors même que la fonction F ne comporterait pas d'expression par les signes élémentaires de l'analyse, on pourrait toujours en assigner numériquement la valeur, pour chaque système des valeurs initiales et finales des <}uantités Xj/^f\ etc., eu calculant arithmétiquement

[Sao], avec une appcoxinutioD indéfinie, l'intégrale

après qaon aurait établi entre ^ et x, pour rendre le calcul arithmétique possible, une rdation arbitraire dont la forme nlnfluerait pas sur la valeur de l'intégrale; puisque, par hypothèse, Téquation (g) est identiquement ▼ennee.

*400. D'ailleurs, en vertu de cette même équation (g)^ on a [373]

E^T^T^'^,. . .T^'~'^ désignant des fonctions connues de x^jr^y^y , etc. Or, rien ne s'oppose maintenant à ce qu'on remplace la caractéristique ^ par d^ en écrivant

éff=afo+Trf7+T(Orf/+T(>wy'+...+r(--'W/--o. (a)

Par conséquent l'on a, pour déterminer F en fonction de x^jr^y ^. . -^"""^ considérées comme variables indépendantes, une équation de même forme que celles qui ont été traitées au commencement de ce chapitre : et comme le même procédé d'intégration s'y applique, il en résulte que la détermination de la fonction F se ramène toujours à une suite de quadratures.

A la vérité , ceci suppose : i^ que les facteurs S,ï, T^'^, etc. ne contiennent pas de dérivées de^ supérieures par leur ordre à ^"^*^; 2® que l'équation {h) satisfait en outre aux conditions d'intégrabilité exprimées par les équations

,dy dx^ df dx '

Mais remarquons que, si toutes ces conditions n'étaient pas satisfaites, il y aurait contradiction à admettre que

DES CONDITIONS d'iNT^GRABILITS. 167

F est fonction des seules variables x^y^ ^ . . . JK^""'\ considérées comme indépendantes; ce qui est pourtant, d'après ce qui précède, une conséquence de l'identité {g). Donc, l'existence de la fonction F, dans le cas de l'identité (g)y ayant été démontrée par des raisonnements indépendants de la forme de l'équation (K)^ nous pouvons être assurés que cette équation satisfait aux conditions d'intégrabilité, et nous en prévaloir pour affirmer que la fonction F est toujours susceptible de s'exprimer sous forme finie, par une suite de quadratures.

Lagrange s'est contenté de démontrer que la fonction F peut toujours s'obtenir par un développement en série, ce qu'on regardait alors comme suffisant, et ce qui ne satisferait plus aujourd'hui les géomètres, puisque la série obtenue peut, comme celle de Taylor, et à plus forte raison, tomber en défaut ou cesser d'être conviergeiite. Les démonstrations plus anciennes ont paru à ce grand géomètre obscures ou trop compliquées (^). Le raisonnement qui précède suppose seulement que les fonctions S,T9T^'^ etc., n'éprouvent pas de solutions de continuité du premier ordre.

* 401 . Prenons pour exemple la fonction

on a

^ dS , ^,,, dV ^., dV

rfY(0 JY^*) rf"YC*)

dx ~^' dx ~^' d^ par conséquent l'équation {g) est satisfaite, et il vient

(') Leçons sur le calcul des fonctions, ai* leçon.

OU

ou bien enfin

dFz=(x+y)dx+(x — i)dy+xdy.

On reconnaît sans difficulté que le second membre de cette équation^ considéré comme fonction différentielle des trois variables indépendantes x^y^^ satisfait aux trois conditions d'intégrabilité indiquées au n"* 396 ; et l'on en conclut, par les formules de ce n%

F(:r, 7, /') =z X* + j<^ — a/ + 27' j: + comt.

On peut se proposer de généraliser ce qui précède, en recherchant les conditions d'intégrabilité d'une fonction qui contiendrait plusieurs variables indépendantes avec leurs différentielles des divers ordres; ou bien en cherchant les conditions pour qu'une fonction différentielle de l'ordre n ait non-seulement une intégrale de l'ordre immédiatement inférieur n — i, mais encore une intégrale de l'ordre n — 2, ou de l'ordre n — 3, et ainsi de suite. De semblables questions comportent de trop rares applications pour qu'il y ait lieu de s'y arrêter ici.