SPÉCIALES. DIVERS EXEMPLES DE DÉTERMINATION

d'intégrales DÉFINIES.

402. Lorsque l'intégrale indéfinie y/x^ ne peut pas s'exprimer algébriquement ou par les fonctions transcendantes dont on a des tables , l'intégrale définie

^ fxdx (i)

ne peut en général être calculée qu'approximativement, par les séries ou par le procédé de sommation arithmétique dont il a été question plusieurs fois [32o] : mais dans ce cas même il arrive souvent que , pour certaines valeurs spéciales des limites, appropriées à la forme de la fonction yj telles que

O9 rboo, dii, d=ip, etc.,

la valeur de l'intégrale (i) s'obtient exactement et directement, sans qu'on ait à passer par l'intégrale indéfinie. Il arrive aussi que l'intégrale prise entre ces limites spéciales , lors même qu'on l'obtient par une intégration uidéfinie, prend une expression beaucoup plus simple, <)u jouit de propriétés remarquables qui n'appartiennent pius à la même intégrale , prise entre des limites quelwnques. On pourrait attribuer la dénomination dinté- S^^s définies spéciales à celles dont on vient d'indi- ^er sommairement les caractères distinctifs : le calcul

170 LIVBE V. — CHAPITRE X.

et la théorie de ces intégrales forment maintenant une branche très-importante de l'analyse.

Pour éclaircir ce sujet, supposons que l'on demande la valeur de l'intégrale définie

* sin* xdx :

on remarquera que cette valeur est évidemment la même que celle de l'intégrale

* cos* xdXf

puisque, dans l'intervalle de o à 7 ir, sin x et cos x passent suivant un ordre direct ou inverse par la même série de valeurs. Donc

A la vérité on obtiendrait le même résultat, sans recourir à la considération que nous venons d'employer , en effectuant l'intégration indéfinie , qui est possible dans ce cas, et qui donne

fûv? xdxz=:^x^-^^sïn 2x + const.

Aussi notre but a-t-il été seulement de montrer comment des rapports convenables , entre les limites de l'intégrale et la forme de la fonction , peuvent conduire à l'évaluation de certaines intégrales définies, sans qu'on ait besoin de passer par les intégrales indéfinies. 403. Soit encore l'intégrale

e''^dx :

si nous la multiplions par une autre intégrale de même forme, où nous écrirons seulement^ au lieu de jt, le

INTEGRALES DÉFINIES SPÉCIALES. 171

produit des deux intégrales simples équivaudra à l'intégrale double

^" ^'^ e'(^'^J^')dydx. (2)

En effets lorsque les limites des deux intégrales simples

ne dépendent point , pour la première de^ , pour la seconde de X , leur produit est égal à la somme qu'on obtient en multipliant chaque élément de la première par chaque élément de la seconde, c'est-à-dire à l'intégrale

double

fffx.iy.dydx^

pour laquelle les limites, par rapport à chaque yariabte, sont les mêmes que celles des intégrales simples.

Posons maintenant ^=:rrrf, t désignant une nouvelle variable, d'où [367] d[r=:xflfe:les limites de t seront encore o , oo , et l'intégrale (a) deviendra

J^Jo 2^0 ! + /• 4

Donc