XJ
et par conséquent
-ir.
résultat d'une grande importance et d'une application fréquente. L'artifice de calcul qui nous a donné la valeur de l'intégrale (a), ne réussit que parce que les limites sont a et 00 : entre d'autres limites l'intégrale feF^dx constitue une fcMiction irréductible aux transcendantes usuelles, ou une transcendante qui doit avoir sa table propre, et dont nous avons donné plusieurs expressions en séries [317].
On conclut immédiatement de l'équation (a) et en remplaçant x par x\/^j
DifFérentions / fois de suite les deux membres de l'équation par rapport à 6 , suivant la rè^le du n"* 366 , et faisons ensuite 6= i :il vient
^-'V'éfo=liMii:^HÎZIl). y/^.
On a d'ailleurs , pour toutes les valeurs entières et positives de /,
/•oo
puisque l'intégrale est composée d'éléments qui se détruisent deux à deux.
On doit remarquer l'artifice de calcul qui consiste à tirer de la valeur connue d'une intégrale définie y celle d'une autre intégrale définie prise entre les mêmes limites, et que l'on fait dériver de la première, en différentiant ou en intégrant celle-ci sous le signe y* [366] par rapport à un certain paramètre. C'est ainsi qu'en intégrant par rapport à m, entre les limites (a, v, les deux termes de l'équation
on trouve
Au contraire , si l'on différentie i fois de suite, par rapport à ntj l'équation
IlfTléGRALFS DÉFINIES SPliCIALES. 173
dx ir
d'où
y"* <& I 1.3.5. . .(2/— i) w o (a;» 4- !»)'+« /nVw' a.4.6...2< 'â* '^ J
404. Les géomètres ont calculé par des méthodes trèsvariées les valeurs d'un grand nombre d'intégrales définies : nous- donnerons comme exemples les formules d'une démonstration plus simple ou d'un usage plus fréquent, en commençant par les cas où la valeur de Tintégrale définie se tire immédiatement de l'expression trouvée pour l'intégrale indéfinie.
On tire de la formule ([x) du n" 3o9
/, sin«*'-'a:cosa: f* — • i /* . ,
smi*^aa?=3— 1 1 sm»*"*xa[r, f^ V^ J
et de la formule (v)
/, sin X cos*~' X V — I /* ,
cos'ar£w:= 1 1 cos*~"j?alr.
d'oî
ou
/ * sini* xdx = / * sin»""» xdx.
/ *cos*x«tr = / 'cos*"*:rd!r.
Jo V Jo
Comme les mêmes formules de réduction s'appliquent dux intégrales qui entrent dans les seconds membres, on a , en désignant par 2/ un nombre pair quelconque ,
I sm";rrfr=/ cos"x^ = -- -r-^ r-^.-j (*)
Jo~ J o 2.4.0. . .2J 2^ "• ^
et en désignant par 22 -<|-i un nombre impair quelconque,
y* sin«+« xdx = / * cos*'+* xdx = ^ ^ V '.^* x* W o Jù o.D.y. . .(az + i) ^'
Or, il est à remarquer que l'on peut toujours prendre le nombre / assez grand pour que les valeurs des intégrales
* sin*'+ * xdx y / ' sin'* xdx (3)
diffèrent d'aussi peu qu'on voudra des intégrales
j^ sin**+' o^^ir, / * sin^'^rctr, (4)
8 désignant un nombre positif susceptible de décroître au-dessous de toute limite. En effet l'on a
/ * sin*a:e£r < ( - — « ) sin* ( e J ,
et le second membre de l'inégalité peut évidemment, quelque petit que soit c, tomber au-dessous de toute grandeur donnée , pour une valeur convenable de l'exposant k.
Maintenant l'on peut prendre e assez petit pour que les intégrales ( 4) diffèrent chacune d'aussi peu qu'on voudra de l'intégrale
dx=:6y
te
et pour que leur rapport diffère d'aussi peu qu'on voudra de l'unité : dbnc, pour des valeurs suffisamment grandes du nombre ^ , le rapport des intégrales (3) différera de l'unité d'aussi peu qu'on voudra.
On en conclut que le rapport des deux fractions formant les derniers membres des équations {b) et {c) tend
mTJÉGRALES DJÉFINIES SPlU^IALES. 175
indéfiniment vers l'unité, pour des valeurs indéfiniment croissantes de L Donc
Tc S.2. 4«4* 6.6. 8.8*..
Cette expression du nombre ir, en produit continu d'une infinité de facteurs , est due à Wallis : on la retrouve de diverses manières.
