Soit demandée la valeur de l'intégrale

/î: désignant une fonction algébrique rationnelle, et Fx une autre fonction algébrique rationnelle, dont le degré surpasse au moins de deux unités celui de fx , et telle que l'équation Fj; = o n'ait que des racines imaginaires, afin que la fonction sous le signe ne passe point par Vinfini, dans l'étendue de l'intégration. Si l'on désigne par a± p|/ — i un couple de racines imaginaires conjuguées de l'équation Fx=:o, l'intégrale demandée sera la somme d'intégrales partielles de la forme

les constantes P et Q étant données par l'équation

dans laquelle on transforme très-simplement l'équation (3) du n** 296.

On a sans difficulté

quant à l'intégrale

/* {x—%)dx r* tdt

176 LITEB ▼. -^ CHAPITRE X.

elle né peut être considérée [3^4] que comme la limite d'une autre intégrale

- tdt

•I* dans laquelle (jl ^ v désignent des nombres arbitraires et

e un facteur qui converge indéfiniment vers zéro. Or

on a

d'où, en faisant e=:o, pour passer à la limite,

expression indéterminée , à ceux de l'indéterminatioii des nombres (it., v.

Désignons inaintenant par a,± ^\/ZI\^ a,± p,|/<ir7, etc. , les autres racines imaginaires de Téquation Yoc=o^ et par P„ Q„ P», Q,, etc. , les valeurs correspondantes de F, Q: il viendra

+ i(P+P.+P.+etc.)log(^).

D'un autre côté l'on a identiquement fx aP(^— a)+2Qp 2P,(^— a,)+aQP, ,

d'où il est facile de conclure que , si l'équation de condition

P + P, H-P, + etc.=o

n'était pas satisfaite, le plus haut exposant de x damfx ne serait inférieur que d'une unité, contre l'hypothèse, au plus haut exposant de x dans Fx. Donc on a sim-