Appliquons cette analyse à l'intégrale

o iH-ar"'

dans laquelle nous supposerons m<n^m^\,n désignant d'ailleurs des nombres entiers positifs. L'équation (5) devient dans ce cas

P-Qw-=7=^.^^^p^l-^„__.; (6)

et il faudra [79] y substituer successivement pour a-[-P|/Iir7 les diverses vaUurs que l'on tire de la formule

cos-^ —■\- l/— i.sm^ — ' ^,

^n un '

en donnant successivement kî les valeurs o, i ^ 2 , 3, . • •

* • • j il ' I •

Or, on a par la formule de Moivre [77],

[(a« + i)ir . (2i+i)ir1 cos^ ^4- l/Hi.sm-^ ^—\ 2/1 2/1 J

r (2m+l)(2«+l)TCl

=cos|(2.-M>-^ ^i ^J

+ v/z:^,sin ^i,i+^y,-^^'- + '\^^^+ ^>]

(2;n+i)(2«+i)rc . . (2/n4-i)(2Î+ i)7u

=—008-^' ^-^ ^ + l/— i.sm^ ^■^- ^•

Posons, pour abréger,

an — am — i

l'équation (6) donnera

et par suite

O, = -^ sin (»«+ lUic,

^ = — [sin A^+-sin3^7rH-...4-sin(2/î-i)X:ir]. (8)

Cette expression peut être simplifiée : car soit S=:sin M+ sin(£^4- 1') +sin («+ 2(')4-...+sin [«+(/i-i)('];

multiplions les deux membres de l'équation par 2 cost^, et^ la multiplication effectuée, transformons chaque terme du second membre au moyen de la formule 2sin(« + /v) cos(^ = sin [w H-(r -h i)^'] + sin [u 4- (r- ijf^], qui dérive elle-même de la relation connue

2 sin/7 cos q = sin (p + q) + sin (p — q) :

nous trouverons

2Scos('=i:sin(ii— p)— sinii-haS— sin[tt+(/i— i)(']4-sin(«4-«^)j

d'où

— sin(a— 1') + sinM + sin [u + (n — 1)^] — sin(a+/ît')

2(1 — COS if)

Faisons dans cette dernière équation u=.kKy i;=2^ic.*

S désignera le polynôme qui multiplie — -dans Féqua-

tion (8), et il viendra

« 2 sin ^ + sin (2/1 — i)kK — sin (2/1 + i)^

2(1 — cos 2kTz) Mais on a

sin (2/1 ± I )kK = sin (2/iAir ± ^tc) = sin [(2/w + i)ic ± fe]

=:qpsin kKy I — cos2À:7r=: 2 sîn"A:Tr;'