INTÉGRALES DÉFINIES SPÉCIALES

donc

1+^" a/isiniht . f2OT + i)nr

an sin ^ ^

Cette formule remarquable a été donnée par Euler. On en tire

o I H-j sin^ir

en posant ^=x'". Cette dernière équation subsiste pour des valeurs quelconques de k comprises entre o et i : car, quelles que soient ces valeurs , on pourra trouver des nombres entiers m^ /ïqui satisfassent à 1 équation (7), avec telle approximation qu'on voudra, et qui de plus vérifient Tinégalité m<n.

On trouverait par un calcul analogue

I =1 — sin aAic+ûn 4^4- ...+ sina (n — i)A-ïr]

jji tang ~ ^

o I — y tang^ir* 407. Les formules (A) du n® 3i4 donnent

e"'^ sin bxdx^=^-z ri, j

e'""cosbxdx=—- =-. 1

if)

Multiplions ces équations par lia et intégrons entre les limites c , a , il viendra

• sin hxdx = arc tang 7 ar ^ tang ^ ?

-cos^ariirsrs-loffl — — r, J'

180 LIVRB V. CHAPITRE X.

Si Ton fait, dans les équations qui précèdent , c=zo, a = ao , elles donneront

* sin 3a: , , TT

* cos bx

dx =

On doit prendre le second membre de l'équation (^)avec le signe -|- ou avec le signe — , selon que la constante b est positive ou négative. D'ailleurs la valeur numérique de cette constante est sans influence sur la valeur de l'intégrale définie : en effet, si Ton pose bx=:t, les limites de t seront encore o, oo , et l'on aura

Jo X Jo t