intégrale double

/•oo /♦oo j

11=/ / ^ff-y^^^-^'^^cosbx.ydydx i

devient , quand on effectue d'abord l'intégration relative

^ r^ co&bx.dx

Si l'on intégi*ait d'abord par rapport à jr, on aurait, par la formule (k) ,

Û=»/«/ ev'^Â?)dx^=\y:;i.e^J e'K^) dx. Maintenant posons

les limites de la nouvelle variable /, correspondant à V -iiizoo , j^"=o, seront ^=-{-ao ,/= — ao , et il viendra

Or rintégrale qui subsiste dans le dernier membre de réquation précédente est nulle pour b>o; car, d'une part , le facteur qui multiplie r'^\tt sous le signe y

INTIÊGRALES DiFIiriES SPJÂGIALES. 185

est numériqueraent < i , en sorte que la portion de Tintégrale comprise entre les limites o, ao , a une valeur numérique, finie, <~|/7c; et cela posé, puisque tous les éléments de l'intégrale changent de signe avec ^, on a

* e-'^tdt

Donc, pour è>o,

On doit remarquer cet artifice d'analyse qui consiste à évaluer une intégrale simple par la comparaison des deux résultats qu'on obtient en intervertissant dans une intégrale double l'ordre des intégrations.

Si l'on remplace dans l'équation (/) x par mx et h par

-, on aura

* co%hxdx 7C i , V -= — .« m \rn\

et en faisant maintenant m=o, on en conclura comme précédemment , pourvu que b ne soit pas nul ,

cos bxdx':=- O.

Si l'on remplace dans l'équation (/) x par ^ et é par mby il viendra

cos bxdx w

d'où, en différentiant par rapport à é,

^xsinbxdx tc

Dans le cas oii le paramètre b serait négatif, la même analyse conduirait aux formules

r^^ cos bxdx TC ^ r^*" xûnbxdx tc .

Jo m* +x^ 2/w* ' yo m^'+x* 2*