On peut poser
y(j;,a)rfa=Far,
et la fonction F ainsi définie constitue une transcendante nouvelle si l'intégrale définie qui figure au premier nombre de l'équation ne peut pas s'exprimer algébriquementy ou par le moyen des transcendantes dont on a déjà des tables, soit pour des valeurs quelconques des limites oLo^oL^y soit du moins pour les valeurs spéciales attribuées à ces limites. On peut toujours calculer numériquement, avec une approximation indéfinie [3ao], les valeurs de Fx pour chaque valeur de Xj à moins que la fonction /(x^ol) ne passe par l'infini dans l'intervalle des limites de l'intégrale. On peut aussi soumettre la fonction F^r à la difTérentiation ou à l'intégration par rapport à x^ en différentiant ou en intégrant sous le signe yj sans qu'il soit besoin d'effectuer l'intégration relative à la variable auxiliaire a.
Les transcendantes dont il s'agit ici , supposées irréductibles, sont d'un ordre plus élevé que les intégrales
f'fxdx, (3)
DES INTiGRALES A PARAMÈTRES VARIABLES. 187
supposées pareillement irréductibles. En effet, le caractère essentiel de ces dernières transcendantes est d'avoir pour dérivées des fonctions fx qui s'expriment algébriquement, ou qui sont composées des transcendantes élémentaires dont on a des tables, tandis que la dérivée Y^x a une expression
rf/(x,a)
doL^
dx
de même nature que celle de la fonction dont elle dérive. Si la fonction F^o: pouvait s'exprimer sans le secours du signe d'intégration définie, on devrait mettre l'expression de Yx sous la forme
Yxdx^
et alors elle sortirait de la catégorie des transcendantes (i) pour rentrer dans celle des transcendantes (2).
Une fonction qui dépend de plusieurs quantités peut se ranger parmi des transcendantes de diverses catégories, selon que l'on prend pour variables telle ou telle des quantités qui entrent dans sa composition. Par exemple les fonctions elliptiques de première et de seconde espèce appartiennent à la catégorie des intégrales (12), si l'on y considère le module comme constant et la limite supérieure d'amplitude comme variable; et elles rentrent au contraire dans la catégorie des intégrales (i), si l'on y considère les limites d'amplitude comme toutes deux constantes, et le module comme une grandeur susceptible de varier sans discontinuité entre les limites o, i .
413. La fonction /pourrait passer par l'infini, dans l'intervalle des limites de l'intégrale, sans que la fonction F^ cessât d'être continue; et si, pour une certaine va-
leur de a, J{x^ a) passait brusquement d'une valeur finie à une autre, la fonction F.r n'éprouverait pas en général de solution de continuité. Ceci est une conséquence des premières notions de la théorie des quadratures, sur laquelle il n'est pas nécessaire d'insister.
Réciproquement , la fonction F peut éprouver des solutions de continuité pour des valeurs de x qui ne rendent pas discontinue la fonction f. Soit par
exemple
p^^/^-sin^
Jo a on aura pour les valeurs positives de x [4^7], '^x-=.\%^ et pour les valeurs négatives de la même variable, Yxz=i — -iir. En conséquence, pour x-=^o^ la fonction Yx passera brusquement de la valeur -J-iu à la valeur — ^-Tu, quoique cette valeur de x ne rende pas discontinue
la fonction . De même, si l'on posait
p^^r-asina^ Jo i + a' '
on aurait [4«i] F-r^^w^"', ou Fx= — ^ice*, selon que la valeur de x serait réputée positive ou négative, et Yx éprouverait le même changement brusque dans sa valeur.
On en conclut que l'équation
= r^!^da .. (3)
Jo a
a pour lieu géométrique le système de deux droites MN, M'N' [fig. 91) parallèles à l'axe des x, qui s'étendent à l'infini, l'une du côté des x positifs, l'autre du côté des X négatifs, et qui s'arrêtent brusquement aux points oii elles rencontrent Taxe des^. A l'abscisse 0 cor-
