DES I]MT^GRA.L£S A PARAMÈTRES VARIABLES

respoDd d'ailleurs la valeur^=o, c'est-à-dire la moyenne des ordonnées OM =-5'ïr, OM'= — ^w. On reconnaît l'analogie de ces résultats avec ceux du n^ il 3, où la valeur de y se trouvait exprimée par une série infinie, au lieu qu'ici elle se trouve exprimée sous forme finie, par le moyen d'une intégrale définie.

Ceci fait comprendre comment les intégrales définies, où la variable entre comme paramètre, peuvent être propres à représenter des fonctions discontinues-, et comment le progrès naturel de l'analyse doit les amener, dans le traitement des questions qui supposent, comme condition essentielle, la discontinuité de certaines fonctions. L'emploi des intégrales définies offre alors cet avantage sur celui des séries, qu'on peut aisément faire subir aux premières les combinaisons et les transformations analytiques, de manière à reporter à la fin des calculs l'opération de quadrature arithmétique dont le signe d'intégration définie est l'indice, ou à éluder cette opération, quand elle n'est pas essentiellement inhérente au problème.

414. On tirerait de l'équation (3), par des transformations convenables, d'autres formules appropriées à d'autres cas de discontinuité. Soit, par exemple, la fonction

* sin a cos otr

dxL : (4)

o ot

on a

sin a cos tixiir.- [sin(i + x)a + sin (i — 'x)a],

ipsinÇi + ^jg^^^i/'-sinÇi-x)»^ 2/0 a ayo a

Or, d'après ce qui a été prouvé, l'intégrale

se réduità^wpour x> — i, et à — jirpour j:< — i; de même l'intégrale

8in(i-x)a^^

se réduit à {-Tç pour x< i età — \iz^omvx> i:ilenrésulte que la valeur de y e&X. ^t^ quand x est compris entre -|- 1 et — i, et que jK devient nul quand la valeur de j: tombe hors de ces limites. Par conséquent, si l'on prend OP=OP'= I {fig. 9a) , PM =:PM'= i-TT, le lieu de l'équation (4) sera formé de la portion de ligne droite MM' parallèle aux x^ et des lignes droites PX, P'X' limitées aux points P, P% mais indéfinies dans l'autre sens.

415. De semblables solutions de continuité ont lieu pour des intégrales définies qui se déduisent d'intégrales indéfinies dont on a la valeur algébrique. Considérons notamment la fonction de x exprimée par

J o Kl — \x cos a H- ^*

le radical devant rester positif dans toute Tétendue de l'intégration : on a

sin orfa i ^

, y = ^^^^ - Kl — 2a; COS a-f- X* + COnst,

Aux limites 0=0, a=7r, le radical devient [/^{îllxf, 1/(1-1-^)* ; et comme il doit toujours être pris positivement, nous en conclurons

doîi

DES mTÉGRALKS A PARAMÈTRES VARIABLES. 191

W^(i — ar)> = db(i — Jî), selon que a; i, p/(i + a;)» = ± ( I + jr) , selon que or — • i ;

pour a; > I , j z=: - ï

En conséquence, le lieu de l'équation (5) est formé [fig, 93) de deux arcs MN, M'N' d'hyperboles équilatèrcs^ et d'une portion de ligne droite MM^, parallèle à Taxe des x.

Dans ce cas, les solutions de continuité que la fonction /éprouve pour .r=i, a:= — 1, ne sont que du second ordre : sa dérivée

éprouve, pour les mêmes valeurs de x, des solutions de continuité de premier ordre, en passant brusquement de la valeur — 2 à la valeur o, et de celle-ci à la valeur 2.

Fonctions euléridnnes.

416. Dans la catégorie des fonctions qui nous occupent rentrent notamment deux espèces remarquables de transcendantes auxquelles Legendre a imposé le nom ^intégrales eulériennes^ en mémoire du grand géomètre qui en a étudié le premier les propriétés, et dont les immenses travaux ont donné tant d'extension à toutes les branches de l'analyse. Les transcendantes eulériennes ^ première espèce sont données par l'intégrale

192 LIVRE V. CHiLPITRE XI.

(i— a)'-'a/-'rfa, (a)

qui devient

quand on pose

et nous les désignerons par le symbole (^|jr). Les transcendantes eulériennes de seconde espèce sont données par l'intégrale

qui se transforme en

lorsqu'on fait

et nous les désignerons, d'après Legendre, par le symbole r^. Il convient de considérer en premier lieu les transcendantes eulériennes de seconde espèce, qui sont les plus simples, puisqu'elles ne dépendent que d'une seule variable.