L'intégration par parties donne

d'où

{x étant supposé positif), ou bien

r(:rr + i)=^r^; (fl)

formule qui exprime la propriété caractéristique de la fonction r.r, et en vertu de laquelle cette fonction sera connue pour toutes les valeurs positives de x^ si Ton a

FONGTIOHS EULJSRIEITNES. 193

une table de ses valeurs entre les limites x^=zo^x=z i; ou plus généralement entre les limites x=:ij :r=;-|-i, I désignant un nombre entier et positif quelconque. Legendre et M. Gauss ont en effet calculé, pour l'usage des géomètres, d'après des formules'd'approximation qui ne peuvent être détaillées ici, des tables de la fonction Tx.

On a

et de la comparaison de cette formule avec la précédente on conclut

i désignant un nombre positif entier.

Les produits de facteurs ëquidifférents

a:(j:-4-A)(ar + aA)(j? + 3A). . .,

ont reçu les noms de factorielles et àe facultés numériques, à cause de leur analogie avec les puissances. Par un changement de variables on les ramène très-aisément à dépendre des factorielles plus simples

qui ont un rôle si important dans la théorie des combinaisons et des chances. La fonction continue Tx se confond avec une factorielle de cette forme, toutes les fois que X passe par une valeur positive entière; et en conséquence la table des valeurs de la fonction r^ peut être considérée comme une table d'interpolation entre les factorielles [21].

Les équations (a),(a,)donnent r(o)=ao : ainsi la courbe y=zTx a pour asymptote l'axe des^. A partir de x=Of la fonction F^r va en décroissant jusqu'à une certaine valeur de :r que Ton trouve égale à 1^461 63....; elle

T. II. i3

croit ensuite jusqu'à x=z2 ; d'où il résulte clairement, à cause de l'équation (a), que, pour les valeurs supérieures dé Xj elle doit croître indéfiniment et rapidement avec cette variable.

Pour les valeurs négatives de x, la fonction

n'a plus de valeurs assignables, et l'équation (a) nest plus applicable.