Changeons dans l'équation (^) ^ en ma : ii viendra

e-'^OL'-^da = — ' • (b)

Écrivons dans cette dernière formule x-j-^'au lieu de Xj T -|- ^ au lieu de m : nous aurons

Multiplions les deux membres par p^""*rfp, et intégrons par rapport à ^ entre les limites o, oo : il en résultera

Or, on a par la formule {b)

en sorte que le premier membre de l'équation (6) devient, après qu'on a effectué l'intégration par rapport

o a^ . Jo

Donc l'équation (^) donne

r,.rr=n,^r).f;j^; (7)

FONGTIOirS EULiillBlflIBS. 195

et si Ton pose ^-|--/=: i, l'on aura

ou bien, en changeant^ en .r, et en remarquant que r(i) se réduit à l'unité,

ou enfin, d'après la formule [d) du n"* 4^6,

rx.T(i — a:)^-T^^^ (c)

Par cette dernière formule on calculera la table des valeurs de la fonction Ta: entre les limites ^=o, x=iy quand on aura la table des valeurs de la même fonction entre les limites .r=i, x=: i . .

Pour x=^j la formule {c) donne

[r(|)]'=^, ou r(|)=»/;; (c,)

mais on a

ce qui fournit une nouvelle démonstration de la formule (a) du n® 4o3.

419. D'après la définition de la fonction eulérienne de première espèce, l'équation (7) peut s'écrire

Cette formule fondamentale, due à Ëuler, et dont nous venons de reproduire la démonstration donnée par M. Poisson, ramène au calcul de la table de la fonction Fx, celui de la table à double entrée [116] qui donnerait les valeurs de la fonction (^1^), pour les valeurs positives des variables x^jr. On en conclut

ce qui résulte d'ailleurs directement de ce que l'intégrale

(a) ne change pas de valeur par le changement de a en i — a.

On en conclut encore

z désignant une variable positive, aussi bien que x et/; et de là on tire

(a? -f- z Ir) . (Àz) = Z^- ^' ^

ou bien , en raison de ce que le second membre de Téquation précédente est une fonction symétrique des variables X^J'jZj

(x + z\y). {a:\z) = {x + A^) • (/ 1^)- De la combinaison des formules (c) et (é/), il résulte

^ ' ^ siniça:

Faisons dans l'intégrale (a)/*=aj,a=^(i-[-a)): nous aurons

et si l'on remplace maintenant 6> par [^ij il viendra

En vertu des équations (d) et (Cj), cette dernière formule est identique avec la suivante

On en conclut^ pour un nombre entier /,

„/. I\ y/n I.2.3...(2f— l) V^îr ot / * ,\

d'où

rU+^,=^-î^.

JBONGTIOirS EULERISNNES. 197