On a identiquement

l'intégrale double du second membre s'étendant à toutes les valeurs positives des variables Ç,;q qui vérifient l'inégalité

Mais l'intégrale simple qui figure au premier membre de l'équation n'est autre chose que la fonction (a|§-|- 1): donc, en vertu de la formule d'EuIer, et sous la condition exprimée par l'inégalité (8),

Posons

il viendra, en conséquence de cette formule^ ou bien

la double intégration devant s'étendre à toutes les valeurs positives de x,jr qui satisfont à l'inégalité

"V . ft\' < ,.

Les constantes dy^aybjp^q sont supposées positives. Si, pour fixer les idées, et aussi pour prendre le cas susceptible de l'application la plus fréquente, on fait pz=.qz=.'x\ on aura, en étendant la double intégration à la totalité de l'aire limitée sur le plan xy par l'ellipse

et en quadruplant pour cette raison la valeur du second membre de l'équation (e),

Cette formule reproduit l'expression connue de l'aire de l'ellipse, lorsqu'on prend a = p==i.

421. Soit maintenant un nombre n de variables x^j-jZy etc., et désignons par /^"^ une intégrale multiple d'ordre n : admettons que l'intégration multiple s'étende à toutes les valeurs positives de x,^, 2, etc., qui satisfont à l'inégalité

on aura

pqr

P 1 Cette formule bien remarquable, dans laquelle l'équatioa

{e) rentre comme cas particulier, a été donnée par

M. Dirichlet; et l'artifice ingénieux de calcul, qui lui'

FONGTIOirS EULERIENNES. 199

sert à l'établir, a l'avantage de s'appliquer à beaucoup d'autres intégrales ('); cependant , nous préférerons le tour de démonstration suivant, employé par M. Liouville.

D'abord, au moyen d'un changement de variables, tel que celui qui a été pratiqué dans le n"" précédent, on remplace la formule (y) qu'il s'agit de démontrer, par la formule plus simple

l'intégration multiple devant s'étendre à toutes les valeurs positives des nouvelles variables Ç,y),^, etc. propres à vérifier l'inégalité

ïH->i-t-Ç+etc.<i.

Substituons pour un moment à cette dernière condition la condition plus générale exprimée par l'inégalité

5 + vï + C + etc. <«,

6 désignant une quantité positive quelconque ; et posons en premier lieu

il s'agira d'obtenir la valeur de l'intégrale V. Soit

les limites de l'intégration, relativement aux nouvelles variables [i., v, seront respectivement o, 0;o, i, et il viendra [364]

Posons maintenant

(') Voyez \t Journal de mathématiques de M. Liouville, tom. lY, « pag. id4 et 325.

200 LIYHE V. CHAPITRE XI.

on pourra écrire

Mais l'intégrale double

a pour valeur, d'après ce qui précède^

rp.ry Ai .^ ,

donc

Enfin l'on a, toujours d'après le calcul précédent, en remettant pour Y)j sa valeur, et en désignant par \Li une nouvelle variable,

par conséquent

Si l'on fait présentement 0=i, on tombe sur la formule (f ), restreinte au cas de trois variables; et comme l'analyse dont on a fait usage s'étend visiblement, par un calcul de proche en proche, à un nombre quelconque de variables, il en résulte que la formule ((p), et par suite la formule (y), se trouvent établies dans toute leur généralité.

422. Remplaçons dans la formule(é), or— i par «et a par x : elle deviendra

ce qui donne, pour le cas de n entier positif.

FOirCTlOIfS EULÉRIEirirES. 201

ainsi qu'on pourrait le déduire de l'ëquation {a) du n** 3i3, en y changeant a en — m.

Posons dans la formule {g) m=a^b[y' — i,a désignant une constante positive, et mettons pour l'exponentielle imaginaire sa valeur en sinus et en cosinus : la formule deviendra

ou bien, si l'on fait

û'-+-**=p% - = tang>,

a x^er-'^^cos bx — v/ITI . sin bx)dx

= ^ ^^^ ^ [cos(/ï + i)X — l/— X . sin(/i — I )X]. Cette dernière équation se décompose en deux autres

afc^cosbx.ax^-^ — : — ^.cos(/i-|- i)X,

^"g"-«sm bx.dxzzz ^ . ^ ^ . sm (/t + ijX;

et dans l'hypothèse «=^0, celles-ci reproduisent les formules (/) du n* 407.

204 LIVRB V. — CHAPITRE XII.

/'-|-i sont pairs ou impairs en même temps; on a S, — S,=o; de sorte qu'à l'exception de A,, tous les coefficients A disparaissent de la somme des équations (3), multipliées respectivement par les facteurs (4).

VouT i^==i, on a , en vertu de la seconde équation (S'), S,=o; la première équation (S') devient illusoire parce qu'on ne peut pas supposer l'angle ^ nul dans la valeur de S d'où cette équation a été déduite : mais dans ce cas la première équation (S) donne directement S,=/i-|"ï'

En conséquence de toutes ces remarques on a pour déterminer la valeur du coefficient A, l'équation

et pour résoudre la question proposée il suffit d'attribuer successivement à / les valeurs i , a , 3 , . . , /i.

424. Plus le nombre n est grand, plus la courbe définie par l'équation (i)ade points communs avec la courbe jy=^Jx, dans l'intervalle des abscisses ^=o, a:=ir. Donc à la limite (n=zao ) les deux courbes coïncident pour tous les points compris entre ceux qui ont pour abscisses les valeurs précitées. Or , à cette limite , la somme qui exprime la valeur de A, se change en une intégrale définie ; et si l'on fait

il vient

A,= ^/ siniÇ./ÇrfÇ, et par conséquent

2 fit

fxr=-.^.ÛTïix\ sinzÇ.yWÇ, W

le signe 2 indiquant que l'on attribue successivement à i toutes les valeurs entières positives , depuis l'uQitë in-

DEVELOPPEMSNTS EN SJ^RIES TRIGOIfOMlÉTRIQrrES. 205

clusivement jusqu'à l'infini , et qu'on prend la somme de tous les termes ainsi obtenus.

La démonstration que nous venons de donner de la formule (a), appartient à Lagrange : elle se rattache à la théorie de l'interpolation , comme celle dont nous avons fait usage [98] pour établir la série de Taylor , et par suite celle de Maclaurin : et il convenait d'arriver par une même méthode à ces formules capitales pour le développement des fonctions en séries ; mais il reste encore à prouver que la série exprimée par le second membre de l'équation (a) est toujours convergente, quelle que soit la fonction yj sujette ou non à des solutions de continuité, pourvu seulement qu'elle ne devieane pas infinie entre les limites ^=0,^: = ^. La méthode que nous suivrons pour établir en toute rigueur, et sans restrictions inutiles, cette proposition essentielle, nous fournira en même temps une nouvelle démonstration, et même, sous certains rapports, une démonstration plus directe de la formule {a),