Cherchons la limite vers laquelle converge l'intégrale

y*vsin m diù, jA smco

quand on prend pour i un nombre positif de plus en plus grand. A cet effet , remplaçons / par - , e désignant un nombre positif qui converge indéfiniment vers zéro , et posons - = 6 : il viendra

J ^ smo) ^Ê smeO

Mais, quand on traite e comme un nombre infiniment

206 LIYHB V. CHAPITRE XH.

petit, le facteur -; — ^ s'évanouit, à moins que sin eO ne soit en même temps infiniment petit, auquel cas

sin eO' 6

donc, à la limite, on peut remplacer l'intégrale proposée par

7 sin 8

Or on a [407]

/^«sine^ I r« sine «.

Jo 9 2 ' J^oo 8

y*;sin6 -. /*?sin9 - /*;sin6 -.

Maintenant si [/.et v sont des nombres positifs, et si eest un nombre très-petit, les deux intégrales du premier membre de l'équation précédente sont l'une et l'autre à très-peu près égales à ^tc : donc leur différence, ou Tintégrale proposée (w), est à très-peu près nulle, et à la limite (z=:oo ) elle s'évanouit rigoureusement.

Par la même raison, dans le cas où l'on aurait |jl=o, V conservant d'ailleurs une valeur positive quelconque, ((û) prendrait, à la limite , la valeur | ir; enfin, si (i désignait un nombre négatif et v un nombre positif, TiDtégrale (w) convergerait vers la limite w.

En conséquence, et comme on suppose que la fonction y reste finie entre les limites de l'intégration, ilarriveque, pour des valeurs positives de i, de plus en plus grandes, correspondant à des valeurs positives de 6 , de plus en plus petites, la limite vers laquelle converge l'intégrale