La fonction

Sf= - 1 sin ^ / f\ sin \d^ + sin nx j f\ sin aÇdt + . . .

. . . -f- sin ixl f\ sin i^ j ?

ou la somme des i premiers termes de la série (a) , peut se mettre sous la forme

" I /^[^ sin d? sin 5+ a sin 2^ sin 2$+. . .-l-asinîrsiniÇ]

^ I f'^rr^ r ' -Hcos(a: — Ç)-i-cos2(^ — Ç)-h..-f-cos«(a: — \) l "~tc/ o^ ^ L— [i4-cos(^4-Ç)H-cos2(ar+$) -h..-f-cos/(ar-|-Ç)]J '

D'après les formules du n^ 4^^^ ^^ ^ (') Journal de math,, de M. Grelle, tom. IV, pag. i66.

208 UVRB V. CHA.PITRB XII.

i+cos(a:±?)-|-cos2(a:±ï)+. . ,+cosi{x'àzï)

I r cos i{xdzi) — cos(* + I ) (orzt 5)l

aL I — cos(a;ifcÇ) J

iri+8iD(i+l)(ar±S)1.

~il sini(x±5) J

en sorte que la somme S,- devient

aTC/o*^ sin7(ar-Ç) aTC/o*^ 51117(4;+?)

Faisons dans la première intégrale Jt:— Ç=aû), et dans la seconde :f -j- Ç = aw , d'où

c ^ r> /•/ N sin(2/+i)w

ir/ îrr ^ ^ sm û)

I r^T /y X sin(2î-hi)a)

T^Jt sm «0

Nous admettons que x tombe entre o et ir, d'où il suit que les deux limites de la seconde intégrale sont positives, et que la limite inférieure de la première est négative. Dès lors, en vertu du lemme qui fait l'objet du numéro précédent y la seconde intégrale est nulle pour /=:oo . D'ailleurs, quand on fait (t)=o dans la fonction /(x-T-^iù), elle se réduit kjx : donc la limite vers laquelle converge la première intégrale est - . ir/i. Donc

le second membre de l'équation (a) est une série convergente qui a pour somme^, sous la seule condition que la variable x reste comprise entre o et ir, et que la fonction Jx ne devienne point infinie dans cet intervalle.

Si la fonction passait brusquement , pour la valeur a^ d'une valeur finie à une autre , la valeur de la série [d) serait la demi-somme des deux valeurs que prend alors la fonctiony[38].

DiVELOPPJËMEITTS EN SÉRIES TRIGOITOMÉTRIQUES. 209

Il faut encore assigner les valeurs de Sj pour les va» leurs extrêmes de a:, savoir o et ir. Or , on a , pour x=o,

c ^f^ /r \ sin(a/+i)(d I A /., V sin(2z+i)(d ij/r^ ' suio) ''E/o*'^ ^ smw '

et pour j:=ir,

o ^ r^jr \ sin(2/+i)««> , ^ r^/Y \ sin(2i:4-i)w

' w/o'^^ '^ sinw î/î smw

i/*ar/ . sin(aïH-i)w , » T V . sin(a/+i>)

= -/ Yfw-îiw). ^ i-rfW-f--/ /(lC-20)). — \ ^ ^<0-

•y o siuw î/î sinw '

quantités identiquement nulles , quel que soit L ^

427. Le second membre de l'équation (rt)est une fonction périodique de x^ tandis que rien n'assujettit /i: à être une fonction périodique. En conséquence , lorsque fx ne s'évanouit pas pour .r = o et ar^n^ir, la courbe qui a pour ordonnée

^==-2. sinw;/ sin i\. fldc^^ (5)

est formée d'arcs disjoints, alternativement reportés de part et d*autre de l'axe des x {fig* 94)« Pour les abscisses des points de disjonction , l'équation (5) ne donne ni l'une ni l'autre des deux ordonnées OM^, OM, égales et ' de signes contraires, mais la demi-somme de ces ordonnées, c'est-à-dire o.