Exemples. i*/i'==T

1 j7 =sin X — vsin 7.x + ^ sin Zx — j sin 4^ + etc. , (6)

formule déjà trouvée [i i3]. A cause que la fonction ^ ^ est impaire aussi bien que sin /.r, l'équation (6) sub* siste , non-seulement pour les valeurs de x comprises entre o et tu, mais encore pour celles comprises entre — ir et o.

T. II. i4

210 LIVBK V. GHAPITRJB Xfl.

a" /i=:cos X :

3^ Supposons enfin que Jx soit égale à x entre les limites 0,7 TU, et à TU — ^o: entre les limites ^ir^x; de manière à représenter l'ordonnée d'un triangle isocèle, ayant pour base tç et pour hauteur ^ tt : on aura

et la formule (5) donnera

yz=s-[ sîn a: — ^ sin 3ar + ft *^^ 5a: — * -^ sîn yx -f- etc. J.

429. Si l'on savait à priori qu'une fonction fx peut être exprimée, entre les limites o^tt, par une série convergente de la forme 2. A, sin ix^ il suffirait d'un calcul bien simple pour déterminer les coefficients A^. En effet, de l'équation hypothétique

yà;==A, sin a; + A, sin 20: + . . . + A,sinû:-|-etc.,

on tire

sini5/5dî=3A, sin«lsinÇ^+ A, sîni^sina^-h.. .

. . . + A,sin'/$fiK + etc.; (7)

et puisque cette équation subsiste, par hypothèse^ quelque valeur que prenne ^ entre les limites 0,17, on a, en intégrant entre ces mêmes limites,

/ sini5/Wî=A,/ sin/ÇsinÇcR+A,/ smi1sin2UE+-

... -H Ai / sin* iidi -+- etc.

D'un autre côté

/sin iÇ sin i'IcPi = j^/cos(/— f )W5 -^ i/cos(< -+- Z')^

sin(« — i')l sinfi 4- i^)l

D£V£LOPPEMeKTS Mtf SKHIES TRlOONOBf ÉTRIQUÉS. 211

expression que rend nulle le choix des limites o,ir, tant que les nombres entiers i, i diffèreot l'un de l'autre. Pour /=/, il vient [402]

En conséquence, le second membre de Téquation (7) se réduit au terme affecté de A^, et l'on en tire

ainsi que nous l'avons trouvé par un calcul plus compliqué. Mais, selon la juste remarque de M. Poisson, la méthode donnée en dernier lieu repose sur une hypo-* thèse qui a besoin d'être démontrée, et qui consiste à admettre qu'une fonction quelconque peut se développer en série convergente, dont les termes procèdent suivant les sinus des multiples entiers de la variable.

430. Nous pouvons maintenant, par un changement de variables, modifier la formule (â), de manière que la formule transformée subsiste pour les valeurs de la variable coniprises entre des limites quelconques, autres

que o et ir. Ainsi, en remplaçant x par — et Ç par — , nous aurons

Mais rien ne s'oppose à ce qu'on supprime les accents des variables j;', ^'; et puisque la caractéristique y désigne une fonction absolument arbitraire, il est permis

décrire fx au lieu àt f ( — ) : en conséquence, il

vient

ya:=~Z.sm — / sm — - f^a^'y (à)

212 LIVRE V. GHAPlTliB XII.

et cette dernière formule subsiste pour toutes les valeurs de X comprises entre o et a.

Si nous y remplaçons a par a/, x par x'+l^ \ par Ç'+/, elle deviendra

OU plus simplement, d'après ce qui vient d'être expliqué,

cette dernière formule subsistant pour toutes les valeurs de X comprises entre les limites — /, -|-/. On peut mettre l'équation {b) sous la forme

admettons maintenant que a devienne infiniment grand, et posons

la limite vers laquelle converge la série, pour des valeurs de a de plus en plus grandes, est

fx=i - / / sin oor sin a? . f\di4^\ (^

de sorte que la valeur àt fx^ entre les limites o, oo , se trouve exprimée par une intégrale définie double. Cette expression toutefois deviendrait illusoire dans le cas oii, par suite de la nature de la fonction ^^ Tintégrale double, dont les limites supérieures sont infinies, ne conserverait pas une valeur finie et déterminée [3a4]«

Prenons ^^= -: la fonction y devient infinie à la limite X'=.o\ cependant on tire de la formule [d)

DÉVELOPPEMENTS BN SÉRIES TRIGOITOHéTRIQCES. 213

-=~ / 1 sincLV — ;: — i;^da = l sin aoroa, ^ 'kJq J o l J o

ce qui s'accorde avec le résultat du n'' 3a5.

43 1 . £n opérant de la même manière que nous l'a* vons fait dans les n°' qui précèdent, on démontrerait qu'une fonction quelconque, assujettie seulement à ne pas devenir infinie entre les limites o , tt de la variable x, peut se développer entre ces limites par une série convergente, procédant suivant les cosinus des multiples de Tare x; et Ton établirait la formule y*j:= Ao + AjCosorH- A,cos2a:-f-. . .+ A,co&M7 + etc., dont les coefficients sont donnés par les équations

de sorte qu'on peut écrire

fx^=i - / f\d\ H — . 2 . cos ix\ cos i\ . fXd\. {e)

La valeur du second membre de cette équation, qui est une fonction paire et périodique de j?, est représentée par l'ordonnée d'une ligne symétrique relativement à l'axe des jr(^. gSj, et sans points de rupture correspondant aux abscisses x=io^ x=:ir; en sorte que la formule subsiste à ces limites, sans modification.

De cette formule on tire la suivante

qui subsiste entre les limites o,a, et à ces limites mêmes. Puis, en supposant infinie la limite supérieure a, on obtient

fa:=s - I I cos ouK cos al . f\d\daL, {g)

En suivant la même analogie, on trouve encore

214 tlTRn Vs CHAPITRE ÎU.

formule qui subsiste entre les limites — /, -|- /, et même à ces limites.

432. Pour donner quelques applications de ces dernières formules, prenons successivement

fx=\Xy fx=smx, fx^=^Tz:

on aura, par l'équation {é)^ entre les limites o, tt,

iiaf 1^1^ 1

^x = -ic I cosj:-f-7r:COsoa?4-5:-cos5a:-f-€tc. p

a 4 ir L »> 5' J

2 4 fcos ^^ <*os 4* cos 6ar 1

sm j: = -- *-. ^ 5~ -f- --j-^ -4- -? h etc. h

TT te L 1.3 3.5 5.7 J

i. ^ = cos jr — J cos 3x -h ^ cos 5ar — y cos 70; -h etc. Il suffit de faire .r=:o ou .r^rrir datis chacune de ces dernières formules, pour avoir autant de développements curieux du nombre transcendant w, et ces développement peuvent être variés à l'infini.

Multiplions par dx les deux membres de la dernière équation obtenue, intégrons entre les limites o,x, et divisons par ^7^ : il viendra

-x=- Fsin^ — •r-sinSj?-!- îrisin 5ar rsin 7ar+etc.l. fii)

2 tc'- 3* 5* 7

La série (9) étant convergente, celle-ci l'est à fortiori; et ce rapprochement des deux formules montre qu'une même fonction peut avoir plusieurs développements convergents, procédant suivant les sinus des arcs multiples : ce qui distingue essentiellement les séries dont il s'agit dans ce cûapitre, des développements suivant les puis- ,sances de la variable, qui ne peuvent être opérés que d'une seule manière, par la formule de Maclaurio. Il résulte aussi de cette remarque que le procédé du n** 4^9 ne dor\ne pas tous les développements que la fonction

DJEVELOPPEMBKTS EN SÉRIES TRIGONOM^TRIQUES. 215

est susceptible de recevoir en séries procédant suivant les sinus ou les cosinus des arcs multiples.

433. Si Ton ajoute ' membre à membre les équations (a) et (e)y et qu'on prenne la moitié de la somme, il viendra

= — / y ïrfÇ -t- - 2[sin i^ / siniJ.yirfÇ+cosw:/ cos/Ç./Çrf?]

Le lieu géométrique de l'équation

^ = JL f"" f\d\ -H i 2 . T'^cos i{a: — £) • fldl

est formé {Jig. 96): 1" d'un système d'arcs disjoints... M^N^^,MN,M"N'V- a** des portions de l'axe des abscisses, comprises entre les ordonnées des points où ces arcs s'interrompent. On en conclut que la formule {{) ne subsiste aux limites o et tu que si l'on a o=/(o)=:/'('7u). Dans le cas contraire, la série donne -7y*(o) pour a;=o et 5-/*(ir) pour ^=7?.

En combinant de la même manière les formules (b) et

(/)î (^) ^^ iE^i^ ^^ W» ^^ trouve

/a:=s~/ / cos«(a? — ?)./Çrfïda,

434. Toutes ces formules sont encore susceptibles de nombreuses transformations : nous nous bornerons à en indiquer une.

Soit fx une fonction qui a ^our valeur ç.r, de zéro à «, et pour valeur ^x^ de zéro à — a : d'après la formule (^), la fonction

216 LIVRE V, —7 CHAPITRE XIK

— 1 çÇrfÇ + -2./ cos— ^^ i .o\d\

aaj o ^ a Jo a ^

se réduira à <fx pour les valeurs de x comprises entre o et a, 6t à zéro pour les valeurs de x comprises entre o et — a. Pareillement la fonction

2aJ o Ci J o a *

se réduira à ^ pour les valeurs de x comprises entre o et — a, et à zéro pour les valeurs de x comprises entre o et a. Donc la fonction

+ -2 / cos^-i J..ff\d\^j €Os-ii ^.^l'Çrfq

se réduit à ifx pour les valeurs de x comprises entre —a et o, et à<p:r pour celtes qui tombent entre o et a; ce qui revient à dire que la formule

subsiste pour toutes les valeurs de x comprises entre -—a et -|-a. On pourrait changer a en /, et l'on aurait une formule distincte de l'équation {I)j quoique toutes deux subsistent pour les valeurs de a: comprises, entre les mêmes limites.

435. Par un procédé semblable à celui du n^ t^Zo^ on tire de l'équation (/w), en y supposant a*-~^oo ,

fx=i- I I cos a(x — l) . f\d\d(i ; (n)

et cette dernière formule subsiste pour toutes les valeurs réelles de x^ puisque l'intégration relative à \ s'effectue entre les limites — oo , -|-oo . On l'appelle la formuJe

DEVELOPPEMENTS EDT SÉRIES TRIGOUOMBTRIQUES. 217

de Fourier^ du nom du géomètre célèbre qui en a enrichi l'analyse. La démonstration de cette formule résulte de ce qui précède; mais, à cause de son importance^ nous en donnerons une autre démonstration plus simple et plus directe^ due à Deflers, de son vivant maître de conférences à TÉcole normale.

Soit

jr = ^j l cosa(x — Q.yWÇrfa;

et efiectuons d'abord l'intégration relative à a entre les limites o^o, sauf à faire a=QO après la seconde intégration : il viendra ^i r- sin,(x--^) ip finf ^/ A^ .

en posant Ç=.ar •

Or, quand on fait a=<» , on a

excepté pour les valeurs de z qui sont elles-mêmes infinies, valeurs auxquelles on peut se dispenser d'avoir

égard, à cause que le facteur rend infiniment pe-

tite la portion correspondante de l'intégrale : on a donc simplement

r = - fxl dz=fx.

Quand la fonction /est telle que l'intégration relative a la variable Ç, indiquée dans la formule (/i), puisse s'effectuer, cette formule détermine les valeurs d'intégrales définies simples, comme celles qui ont fait l'objet des deux derniers chapitres. Supposons, par exemple, que^ doive se réduire à ^""% entre les limites 0,00 : on a [4^71

218 LIVRS V. — CHAPTTRS ^I-

COSaÇ.é^WÇess

It'

et en conséquence la formule (/i) dooney pour tontes ks valeurs positives de Xy

^ a r^ cosaxda

T^Jo I -f-a* ' ce qui s'accorde avec la formule (/w) du n* 4* '-

436. Toutes les formules données dans ce diapilre peuvent se généraliser et s'étendre aux foncrûoiis d'un nombre quelconque de variables. Ainsi, en écrivant fi^if) ^" ''cu de^, on lire de la formule de Foaricr

et par la même raison

'^JOJ —00

P, 7) désignant deux nouvelles variables auxiliaires: donc

formule qui subsiste pour toutes les valeurs réelles As variables x,j. Si les limites d'intégration, relatives aw variables Ç,y), sont données par le contour d'une courbe tracée dans le plan xj^ l'intégrale quadruple se réduira ^^f^^^f) pour les points qui tombent dans rintérieor de la courbe, et à zéro pour les points extérieurs. De menic l'intégrale sextuple

cosa(:r-.Ç).cosP(/-.ti).cosy(3-0-/(U0*^'^'''*

pour laquelle les limites des intégrations relatives aux variables Ç, n, Ç sont les mêmes que celles du voto^ d'un corps donné, se réduira kf{x^jyz) pour tous les points situés dans l'intérieur du corps, et à zéro po"^ tous les points extérieurs.

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