CHAPITRE PREMIER

DI L'uTTlÉGnATIOIT DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A DEUX VARIABLES ET DU PREMIER ORDRE.

437. On peut envisager sous deux aspects le problème de l'intégration des équations différentielles entre deux variables. Sous le premier point de vue, il s'agit de trouver, entre la variable indépendante et la fonction, une équation qui satisfasse de la manière la plus générale à l'équation différentielle proposée, au moyen des valeurs qu'on en déduit pour les coefHciens différentiels des divers ordres. En d'autres termes, il s'agit de trouver l'équation la plus générale des courbes qui jouissent en tous leurs points de la propriété exprimée par l'équation différentielle.

Sous le second point de vue, le problème de l'intégration consiste à déterminer la série des valeurs numériques par lesquelles doit passer une fonction en partant d'une valeur numérique assignée, quand la loi -des variations infinitésimales de la fonction est exprimée par "ne équation différentielle donnée. Nous verrons qu'il

se présente des cas où le problème de l'intégration des équations difTérentielles ne se résout pas de la même manière, selon qu'on l'envisage sous l'un ou sous l'autre de ces aspects.

On a indiqué [liv. III, chap. Y] les liaisons qui subsistent entre une équation différentielle d'un ordre quelconque, et les intégrales ou les équations primitives des divers ordres dont on peut concevoir que la proposée dérive, par la dififérentiation immédiate ou par la difFérentiation combinée avec l'élimination des constantes. En nous appuyant au besoin sur les principes posés dans le chapitre cité, nous commencerons par examiner les cas principaux où l'on peut retrouver l'intégrale de laquelle dérive une équation différentielle proposée. Nous étudierons ensuite, sous le second point de vue, la théorie des équations différentielles.

§ i^'. Sëparation de& variables.

438. La formule générale des équations différentielles du premier ordre à deux variables est

F(^,rjy)=o. ^ ^ (i)

Si cette équation est algébrique et du premier degré par rapport à/, on peut la mettre sous la forme '

L'équation (2) s'intègre toujours, ou du moins l'intégration est ramenée à de simples quadratures ,. lorsque les variables y sont séparées^ c'est-à-dire lorsque cette équation est mise sous la forme

Jxdx 4- fy'djr= o.

L'intégrale générale est alors

ffvdx + ffydjr^G, C désignant une constante arbitraire, ou

ÉQUATIOirS DU PREMIER ORDRE. 221

/ fxdx+l f/rf^=0,

en passant aux intégrales définies, et en représentant par^o la valeur de^ qui correspond à l'abscisse x^. Soit proposée, par exemple, Féquation

ydx'^xdyr=iO\ (a)

on la mettra sous la forme

dy dx

et les variables se trouvant séparées, on aura en intégrant log^ — log ^=C, d'où l'on tire^=:cj:, en désignant par c le nombre dont le logarithme est C.

La séparation des variables s'opère immédiatement, toutes les fois que l'équation (i) se présente sous la forme

y=/c.fy, d'où '^=^fxdx.

439. D'autres fois la séparation ne s'opère qu'au moyen d'une transformation ou d'un changement de variables. Si, par exemple, les fonctions 9? ^ qui entrent dans l'équation (2) sont homogènes [1^2] par rapport aux variables x^y^ on posera y=:xt^ d'où

n désignant la somme des exposants de x et de ^ dans chaque terme de l'équation proposée. En conséquence cette équation, après la suppression du facteur a:", deviendra

Ji.dx + ft,(xdt'{-tdx):=Oy d'où

dx ft,dt

équation où les variables sont séparées. C'est ainsi que l'équation *

on a

ffxdx^=^x^ fixdx.é'^^ — €F\x^ — 3a?* 4-6(^ — ')]+C> y^—lx^ — 3x» +6{x — i)] + Ce-'. (4)

dans ce cas les exponentielles disparaissent , puis* qu'on a

d'où Ton tire sans difficulté

On, intègre de même l'équation

y^~^y + y^fx:=^fx\

car^ pour la ramener à la forme de l'équation (3), il suffit de poser y^:=u.

Enfin, si la proposée était

on la ramènerait encore à la forme (3), en posant

^"■'zzz -. L'équation (5) est connue sous le nom A^équa' u

tion de Bernoidli,

441. Lorsqu'on intègre une équation difTérentielIe en commençant par séparer les variables, l'intégrale peut se présenter sous une forme mal à. propos compliquée : elle peut affecter une forme transcendante, quoique l'équation proposée comporte une intégrale algébrique. C'est ce qu'on a vu [438] sur Téquation très-simple

ydx — xdj^=o\f dont l'intégration, par la séparation des variables, amène le signe transcendant log, qu'on peut ensuite faire disparaître, en se prévalant des propriétés de la fonction logarithmique. Prenons encore pour exemple l'équation

}/TZp^da:+ V^i — :c* .rfj==o : (6)

si l'on sépare les variables elle deviendra

dx dr

et préparée ainsi elle conduira à l'intégrale de forme transcendante

arc sin x H- arc sin j= A*, (7)

où k désigne la constante arbitraire. Mais, en intégrant par parties chaque terme de l'équation (6), et en désignant par [JL une autre constante arbitraire, on aura ^ ^ , -.-.. , xydx

Les deux termes de cette équation qui sont affectés du signe y peuvent se grouper en un seul

/r dy dx 1

pourvu que l'on regarde^ comme une fonction implicite

de Xy déterminée par l'équation (6). Or, en vertu de

cette même équation (6), le facteur qui multiplie xj sous

le signe /est constamment nul : donc la proposée a pour

intégrale algébrique

a;i/'*rzy^+j»/i-^«=:jA, (8)

ou, par l'évanouissement des signes radicaux,

{x'—r— f^?= 4Kr(i — ^)'

La valeur de la constante jjl dans l'équation (8) est celle^de la variable j quand x est nul : si l'on fait à la id\%x=:^Oj jz=:)x dans l'équation (7), elle deviendra

T. II. i5

arc sin [JL=:^,

ce qui ramène cette équation à la forme

arc sin x -|- arc sin / = arc sin ft. (9)

Il faut que les deux équations (8) et (9), qui sont l'une et l'autre des intégrales complètes de la proposée, la première sous forme algébrique, la seconde sous forme transcendante, rentrent l'une dans l'autre; et en effet, l'identité de ces deux équations résulte de la formule

sin a cos è + sin é cos a =3 sin (a + A).

Si cette relation n'était pas donnée par la trigonométrie élémentaire, elle résulterait du rapprochement des formules ( 8 ) et (9); et l'on constaterait ainsi une propriété fondamentale de la fonction transcendante arc sin x^ ou de l'intégrale définie

^ dx

C'est en procédant d'une maniée absolument semblable que nous avons établi, dans le chapitre IV du livre précédent, les formules pour l'addition des fonctions elliptiques.

§ 3. Du facteur propre à rendre l'équation intégrable.

442. Quand le premier membre de l'équation (a) est une différentielle exacte d.T!i(x^y)j on trouve cette fonction vt par le calcul indiqué [394]^ et l'intégrale se présente sous la forme tJ(^,^)=z=c, c désignant une constante arbitraire. Réciproquement, après qu'on aura obtenu, par un moyeu quelconque, l'intégrale de l'équation (q)j concevons qu'on la mette sous la ferme xS(j;,^)=c, en résolvant l'équation obtenue par rap-

port à la constante arbitraire que rintégration a introduite : la difierentiation donnera

équation dont le premier membre est nécessairement une diiTérentielle exacte, et qui doit subsister en même temps que l'équation (2). On aura donc

dxi dxi

dx dy

|ji désignant en général une fonction de x et de y. Par conséquent, si Ton multiplie le premier membre de Téquation (a) par le facteur (jl, ce premier membre deviendra identique avec la différentielle totale dxi^ et satisfera à la condition d'intégrabilité.

Ainsi le premier membre de Téquation {a) ne satisfait pas à la condition d'intégrabilité; mais comme on a trouvé [438] pour l'intégrale de cette équation

y ,, X xdy—ydx •^=c, don -" a =0,

on voit que le facteur —5 est celui qui rend le prc-

mier membre de la proposée une difierentielle exacte. De même l'intégrale de l'équation

(r + Vx^'\-x^)dx — xdyz=^ o

pouvant [4^9] ê^i^ mise sous la forme

-r+ Vx^^r^—c, d'où \. ^^^-^=0^

il en résulte que le facteur par lequel il faut multiplier la proposée pour en rendre le premier membre une différentielle exacte, est

X — \^x*'hx\

443. Il est à remarquer que, quand on connaît une valeur du facteur ^l^ ou peut en déduire une infinité d'autres : car, puisque

on a

iif (trf)[(p(^, j)rfx -+- ^.'^^ryy] = f{^)dxs, ( 1 0)

f(xif) désignant une fonction quelconque de la quantité xi dont on connaît la composition en x^j-. Or l'expression {(xS)dxi est essentiellement une différentielle exacte, et la détermination de la fonction dont elle dérive résulte d'une simple quadrature : donc le premier membre de l'équation (10) est aussi une différentielle exacte. Ed d'autres termes, le facteur jx f (t^*), où les fonctions p.,trf sont connues, et où la fonction f peut être particularisée d'une infinité de manières, jouit comme le facteur [/. de la propriété de rendre le premier membre de l'équation (2) une différentielle exacte.

Prenons pour exemple l'équation (a), et supposons simplement f ('^) =trf. On a dans ce cas