V-=^„ ^ = p doù(.f(trf) = J

Ce dernier facteur rendra donc le premier membre de l'équation proposée une différentielle exacte; et en effet l'on a

444. Pour déterminer à /?r«bn le facteur (X, il faudrait satisfaire à l'équation

djr dx '

OU

^ dy ^ dx \dy dxj

mais rintëgration de cette équation qui est aux diffërences partielles par rapport à la fonction (x des deux variables x^y^ suppose en général, comme bn le verra par la suite, l'intégration préalable de Téquation (a). Ce n'est que dans des cas très-particuliers que Ton peut assigner le facteur (x et par suite ramener l'intégration de la proposée aux quadratures.

Si , par exemple, le facteur (a ne devait renfermer que la variable x, l'équation précédente se réduirait à

I d^ I /rfç rfi|;\ ^

[/. ' dx ^ \jdj dx) ^

et en vertu de l'hypothèse, il faudrait que le second membre de cette dernière équation se réduisît à une fonction fx de la seule variable x. On aurait donc ^:=ie^^'^. D'ailleurs on ne restreindra pas la généralité de l'hypothèse en posant '{'^î i, puisqu'on peut toujours admettre que l'équation (a) a été divisée par le coefficient de dy ; et dès lors, il faudra que le coefficient ^ soit indépendant de y, ou qu'on ait

c est-à-dire que ce cas est celui où la proposée se présente sous la forme d'une équation linéaire du premier ordre.