Quand l'équation (2) est homogène, elle peut s'écrire

^"/©^-^ + ^fg^rf/ = o; (i.i )

et Ton a vu [439] qu'elle se change en

dx \x) * X , .

équation où les variables sont séparées, et qui est par conséquent une différentielle exacte. Le facteur par lequel il a fallu multiplier (i i) pour obtenir (12) est

La condition d'intégrabilité appliquée à la fonction

(^x^yix +^x^)dx

qui doit être une différentielle exacte quand les fonctions (p, if sont homogènes et du même degré, donne

^c/.y(j7^y) ^ d.t^œ^) ^d.if{x^) ^ d.i({x,y) dx dy dx dy

Donc chaque membre de cette dernière équation a une valeur indépendante de la forme des fonctions T,^, et si l'on prend ^ {x^j)'=loi^^ il vient, conformément au théorème des fonctions homogènes [1:2a],

§ 4* I^c^ équations supérieures du premier ordre.

446. Si réquation (i) renferftie la dérivée^ élevée au carré ou à des puissances supérieures, on en tirera par la résolution algébrique d'autres équations

/ — f,(^,7)=o, /— f,(4:,7)z=zo, etc., en nombre égal à celui qui indique le degré de la proposée par rapport à /'. On les intégrera séparément, si c'est possible : et chaque intégrale^ complétée par une

constante arbitraire, satisfera à la proposée. Le produit de toutes ces intégrales satisfera donc de la manière la plus générale à l'équation différentielle proposée; ou, en d'autres termes, ce produit en sera l'intégrale générale. On pourrait désigner les constantes arbitraires qui entrent dans chaque facteur par des lettres différentes; mais on ne restreindra pas la généralité de l'intégrale en désignant' toutes ces constantes arbitraires par la même lettre; puisque, si 4'on attribue à cette lettre unique toutes les valeurs numériques possibles, on obtiendra évidemment toutes les intégrales particulières que chaque facteur de l'intégrale générale est susceptible de fournir. Par exemple, la résolution de l'équation

/'* — axz=io

donne

y — ï/âjcs=o, y + v/^=o,

équations qui ont pour intégrales