C-f-j — |j/^=o, c»+/ + f l/âJc^c

En faisant le produit on a, pour l'intégrale générale de la proposée,

et l'on n'en diminuera pas la généralité si l'on pose c,=:c, ce qui donne au produit la forme rationnelle

Il est visible, par la théorie de la composition des équations algébriques, que dans tous les cas l'intégrale générale sera rationnelle en x,j^, lorsqu'on identifiera les constantes arbitraires qui entrent dans chaque facteur irrationnel, et lorsque la proposée sera elle-même rationnelle en cT, 7,^'.

447. 11 y a possibilité dans certains cas d'éluder la resolution de l'équation proposée par rapport à^'. Si,

par exemple, la variable y n y entre pas, et qu'elle soit réductible à la forme xz=zfy^ on aura, en appliquant à la fonction dy^ydx la règle de l'intégration par parties,

y=yx—fxdf + c=yfr'—yffdy + c.

Lorsque la quadrature indiquée dans le dernier membre de cette équation pourra s'effectuer algébriquement, il n*y aura plus qu'à éliminer^' entre cette équation et la proposée pour obtenir l'intégrale complétée par la constante arbitraire C. On traiterait d'une manière semblable

l'équation ^=j(y, après avoir posé ^'i=—„ c'est-à-dire

après avoir pris^ pour variable indépendante.

448. Quand la proposée sera de la forme^=/'(j;^'), on en tirera

dx df dx

Cette dernière équation est du premier ordre par rap- • port aux variables x^y' : en admettant qu'elle tombe dans la catégorie de celles qu'on sait intégrer, il suffira d'éliminer y' entre l'intégrale obtenue et la proposée, pour avoir l'intégrale même de la proposée. Par exemple, si celle-ci est de la forme

ou aura

^ dV dx oW' J/t'

y=9yM^/+^Y)£^ ou --a:^=^,.

et par suite [44^]