ij

On doit remarquer en particulier l'équation

y=xy'^ify\ (i3)

lÊQXJATIONS DU PREMIER ORDRE. 233

d'oïl Ton tire par la différentiation

Ou satisfait à l'équation (i4) en posant

=o, dou r=c.

et la substitution de cette valeur à& y' dans* l'équation (i3) donne pour intégrale générale

. y^=cx -\r^^ (l5)

équation d'une ligne droite qui se déplace sur le plan xjr quand on fait varier la constante arbitraire c.

On satisfait encore & l'équation (i4) en posant

et si l'on élimine j^' entre les équations (i3) et (i6), on aune équation en Xjj-, qui satisfait à l'équation (i3), mais qui n'en est pas l'intégrale générale, puisqu'elle ne contient pas de constante arbitraire, et qui n'est pas non plus une intégrale particulière, puisqu'on tire de l'équation (i6) une valeur de y en Xy incompatible avec les valeurs ^'=:c, tirées de l'intégrale générale. Cette équation résultante en Xjj' est donc une intégrale singulière delà proposée [i64].

Il faut remarquer que l'élimination de c entre l'équation ( 1 5) et sa dérivée par rapport à c,

donne la même équation finale en Xjj', que l'élimination dej' entre les équations (i3) et (i6) : ce qui doit être, puisque l'intégrale singulière représente [189] la courbe enveloppe de toutes les droites qu'on obtient en faisant varier sans discontinuité, dans l'équation (i5), le paramètre c.