EQUATIONS DES ORDRES SUPÉRIEURS

donne d'abord

da:=^—j^^f%—^^ doù x=C ^^L. (3)

On a ensuite

et en éliminant jr' on tombe sur l'équation d'un cercle

Effectivement l'équation proposée exprime [190] que le rayon de courbure de la ligne plane dont Xyj" désignent les coordonnées courantes , est égal à 'la constante a.

Lorsqu'on pourra résoudre l'équation (si) par rapport à ^"^ et en tirer

7<-)=f(:r,C), il viendra

^(-«)=/f(a;,C>tr + C„

y<^'^)zz^/dxfi{x^ C)^ + C.:r + C, ; et en continuant ainsi, on obtiendra immédiatement, par une suite de quadratures, la valeur Aejr en œ^ renfeiv mant/i^i constantes arbitraires.

Ainsi, de Téquation (3) Ton tirerait

ou

. f (x — C\dx

J ï/a» — (ar — O» ^ ^ ^

ce qui conduit encore à Féquation (4).

450. On ramène pareillement aux quadratures l'intégration de toute équation de la forme

car ou en tire

et en intégrant

\(^^' -ffy'"''^'

eonst. ;

d'où

da:

Il vient ensuite

et en continuant de la même manière on obtient la valeur de jy en fonction de ^"^ par une suite de quadratures. Il n'y a plus qu'à éliminer j^"^ entre la dernière équation obtenue et l'équation (5) : l'équation résultante est l'intégrale générale que l'on cherche.

Quand l'équation (5) peut se mettre sous la forme

jW=f(:r,C,C,),

on obtient immédiatement, comme tout à l'heure, par des quadratures succesaives, la valeur de^en .r, renfermant le nombre de constantes arbitraires requis pour la généralité de l'intégrale.

L'équation

que l'on rencontre fréquemment en mécanique, a doue pour intégrale complète

J V^ffjdy^Q

ordinairement, dans cette formule, la variable x désigne le temps.