Lorsque Téquation à intégrer est de la forme

j(«)=/^, ou ^=/-^,

on a, en intégrant n fois de suite par rapport à jc, et en écrivant, pour simplifier, /'^'^ au lieu dejfjf^^^aix lieu de JJf, et ainsi de suite,

Mais, au moyen de l'intégration par parties, on remplace, dans le dernier membre de Téquation précédente, Tintégrale multiple par une suite d'intégrales simples. En effet, Ton * a , en omettant d'abord les constantes,

238 UVRB VI. CHAPITRE If.

f^^Y^dx • = fdxffxdx = xffxdx — ffx . xdx^

f^^]fxdx^ Ts=:ifdxf^*)fxdx^ =^fxdxffxdx — fdxffx.xdx^

fxdxffxdx=^^x^ffxdx — ^ffx.x^dx^

fdxffx.xdx^=sxxffx,3cdx*^fjx^x^dx^

d'où

f^^)fxdx^ = {x^ffxdx — 'kxffx^xdx + ffx.x'^dx).

f • SI

On trouverait de même

= 5 {a?ffxdx — Zx^ffx^xdx 4- ixffx.a^dx -^ffxjx^dx),

d'où, par induction ,

f^'')fxdaf= TT—, s af-^ffxdx af^^ffxadx

OU symboliquement

en convenant qu'après le développement oû fera passer les puissances de Ç sous le signe f, et qu'on remplacera ensuite ^ par x.

On démontre cette formule, comme celle du binôme, et comme toutes les formules analogues , en prouvant que si elle est vérifiée pour une valeur particulière de n^ elle subsiste pour la valeur consécutive /2-[- i.

Nous aurons donc/ en rétablissant les constantes arbitraires que chaque intégration introduit, et en conservant, pour abréger, la notation symbolique employée ci-dessus,

EQUATIONS DES ORDRES SUPIÊRIEURS. 239

§ 2. Des facteurs propres à rendre intëgrables les équations diffërentielles des ordres supérieurs.

453. On peut toujours concevoir qu'une équation différentielle de l'ordre n a été ramenée à la forme

/(^,7,7Sr % • • -Z""'^) + /"^ = o. (7)

D'un autre côté, si l'on représente par

trf(^,7y ,/% • • .7^""'\/("-'0 = C (8)

l'équation d'ordre n — i dont la proposée dérive, C désignant la constante arbitraire qui disparaît dans le passage de l'équation (8) à l'équation (7), la difFérentiation donnera

ou

En vertu de l'hypothèse, les équations (7) et (10) doivent être identiques : donc, réciproquement, si Ton multiplie l'équation (7) par un certain facteur

dri

qui ne peut dépendre, comme la fonction xi elle-même^ que des quantités ^,/,^'v..:7^'*'"\ on rendra la proposée identique avec l'équation (9), c'est-à-dire qu'on rendra le premier membre de la proposée une différentielle exacte. Il est d'ailleurs évident que, non-seulement le facteur [x, mais tous ceux, en nombre infini, qui se trouvent compris dans la formule (xf(tiJ), f désignant une fonction quelconque, jouissent aussi de la propriété de rendre le premier membre de l'équation (7) une différentielle exacte.

L'équation proposée étant du rC ordre, comporte n intégrales premières de l'ordre n — i [i64]; soit

une autre de ces intégrales premières : par la même raison que tout à l'heure on rend encore la proposée une différentielle exacte , en la multipliant par le facteur

pu plus généralement par un des facteurs, en nombre infini, compris dans la formule (Xif,(Trf,), f, désignant une autre fonction arbitraire.

Donc, plus généralement, si l'on désigne par Of^-d,] une fonction quelconque des deux quantités ^yXi^^ tous les facteurs compris dans la formule

^ d^ ' ^' dxi, ' ou

rfj(«-0 dxi «fj(«-0 dx^^ '

jouissent de la propriété de rendre le premier membre de la proposée une différentielle exacte, ce premier membre devenant alors la différentielle de la fonction

Donc enfin, si l'on désigne par

les n intégrales premières de la proposée, et par ^ une fonction quelconque des quantités trf, i^^, x;i,,....Trf„i, les facteurs propres à rendre la proposée une différentielle exacte, sont compris dans la formule générale dxà d^ d%i, d^ dxin^r d^

dfj(— 0 dxi rfj(«-') rfx;^, '••^df7(''-0 rftrf.«.

ÉQUATIOSTS BBS ORDRES SUPiRIEURS, 241