Appliquons cela à l'équation du second ordre

qui devient, suivant qu'on la multiplie ou qu'on la divise par x^

équations dont les premiers membres sont respectivement leâ différentielles exactes des fonctions

xS=dy' — 27, xi,=^* (11)

La proposée a pour intégrales du premier ordre

et pour intégrale seconde,, résultant de l'élimination de la fonction^' entre les intégrales premières,

Dans ce cas, les facteurs qui jouissent de la propriété de rendre le premier membre de la proposée une différentielle exacte , sont exprimés par la formule

dtà X dvi^ '

la composition des fonctions xii, rij étant donnée par les équations (ii)^ et la fonction ^ restant arbitraire.

S 3. Des équations diffërentielles iiuëaii'cs, d*an ordre quelconque.

455. On. nomme équation différentielle linéaire celle qui ne renferme^ ni les puissances supérieures à la pre-^ inière, ni les produits de la fonction et de ses coefficients différentiels des divers ordres, et qui est par conséquent de la forme

j(»)-|. Pj(«-0 -1- Qj(»-») ^- . , . + Uj = V, (a)

242 LIVRE VI. CfiAPItR£ If.

P,Q,....U,V désignant des fonctions de la seule variable indépendante .r. £n général ^ si l'équation

^{^jXy^X^ • • •/"^)= o est celle qui exprime rigoureusement la loi d'un phénomène; et que de plus^ par la nature de ce phénomène, les quantités JK^y^y^"-/^"^ soient assujetties à rester toujours très-petites, de façon qu'on puisse négliger les produits et les puissances supérieures de ces quantités, la fonction O se transforme en une fonction linéaire des mêmes quantités variables; et l'équation du problème devient une équation différentielle linéaire. La théorie de l'intégration des équations de cette espèce doit donc attirer notre attfption, non-seulement à cause des faits d'analyse très-remarquables qui s'y rattachent, mais aussi à cause de l'importance des applications.

Supposons d'abord que le second membre de (a) soit nul , ou qu'on ait à intégrer l'équation

j(«) + Pj(«- 0 4- Q j(»-«) + . . . 4- U7= o. (3)

La propriété caractéristique d'une équation de cette forme consiste en ce que^ si l'on a diverses valeurs particulières de jr en fonction de x qui y satisfassent, valeurs que nous désignerons par ^,,^,,^3, etc., la somme de ces valeurs , multipliées respectivement par des constantes arbitraires C,,C„G3, etc., ou