C.7x+C,7,-hC373H-elc

y satisfait pareillement. La forme du calcul sur lequel cette proposition repose, résulte si évidemment de la forme même de l'équation (é), qu'il suffit de l'indiquer. .

Il suit de là que si l'on connaît n valeurs particulières et distinctes, y^^Ji^ jrit* "ynt propres à satisfaire

:éQUATIO]fS DIFFERENTIELLES LINÉAIRES. 243

1 l'équation (é), celle-ci aura pour intégrale générale

car cette valeur de jr satisfait à la proposée, et à cause des n constantes arbitraires et distinctes qu'elle renferme, elle a toute la généralité qu'une telle intégrale comporte.

456. Or, il est un cas où l'on trouve facilement n valeurs particulières de / propres à satisfaire à Téquation (6) : c'est celui où tous les coefficients P,Q,....U se réduisent à des constantes; car si l'on pose y=é^^ on aura, quelque soit i^y^^^=inûé^*\ de sorte que cette valeur de y^ substituée dans l'équation {b\ donnera pour résultat

et dès lors, il est visible que la fonction ^/=:^"" satisfait à Téquation (^), pourvu que la valeur assignée au nombre m soit l'une des racines de l'équation numérique

TO» 4-P/n*^' 4- Qw»-* + • . .4-U=o. (m)

Donc, si l'on désigne par m„m,, ma, m^les n racines

de cette équation, et par C, ,C2>C3,. .. .G„ des constantes arbitraires, l'équation (&) a pour intégrale générale

457. Avant d'aller plus loin, il est bon de donner à (^mprendre pourquoi le cas que nous traitons en ce moment, cas en apparence si particulier, a néanmoins ftssez d'importance dans les applications pour mériter un examen spécial.

Dabord il est clair que ce cas comprend celui où le second membre de l'équation (é), au lieu d'être zéro, se-

244 LIVRE VI. -— CHAPITRE II j

rait un nombre Y quelconque; car il suffirait de poser

^=yi-j- ==, pour réduire à 2séro le second membre de la

transformée en ti.

Remarquons ensuite que dans la plupart des applications de l'analyse à la physique le temps est la variable indépendante désignée ici par Xj et que cette variable n'entre pas^ pour l'ordinaire, autrement que par ses différentielles, dans les équations des problèmes. Si, par exemple, il s'agit d'une question de mécanique, les forces qui sollicitent un système matériel ne varieront communément qu'avec les distances respectives des parties du système : elles seront des fonctions explicites de ces distances à une époque quelconque, et ne dépendront pas explicitement du temps écoulé depuis l'instant pris pour origine.

458. Lorsque toutes les racines de l'équation {m) sont réelles et inégales, on vérifie aisément que les constantes arbitraires Ci , C, , C3 , . . . C„ peuvent toujours être numériquement déterminées au moyen des valeurs initiales

jo,/o,7"o,..-ro^""'\ W

correspondant à j;=o. Soit, par exemple, /i=:3, on aura

j'o ='WxC, -4-/w^C, H-mjC,,

d'où l'on tire

EQUATIONS DIFFERENTIELLES LIN^AIAES. 24&

La symétrie de ces formules indique suffisamment la loi des expressions qu'on obtiendrait , si Ton avait un plus grand nombre de constantes arbitraires à déterminer, au moyen des valeurs initiales de la fonction et de ses dérivées.

Si Ton sait, par la nature de la question, que la grandeur^ ne peut pas croître indéfiniment avec j:, il faut nécessairement supposer nulles les constantes arbitraires Ci qui correspondent à des racines positives m, de l'équation (m). Alors les valeurs initiales (o) ne peuvent plus être données arbitrairement; mais il faut qu'il y ait eotre elles, autant d'équations de condition que l'équation (m) admet de racines positives. On doit remarquer ce mode de réduction du nombre des constantes arbitraires^ d'après des considérations tirées de la forme des fonctions, indépendamment des valeurs numériques de leurs paramètres. Des considérations du même genre reviennent fréquemment dans les applications de l'analyse aux questions physiques.

459. Si l'équation (m) avait des racines imaginaires, les exponentielles devenues imaginaires se conjugueraient deux à deux et se transformeraient en sinus et cosinus d'arcs réels. Ainsi, a±Pp/— i désignant deux racines imaginaires conjuguées de l'équation (m\ les termes exponentiels que ces racines amènent dans l'intégrale générale, savoir

se changent en

==^[(C. + COcosp:r-f- (C. — C.)»/ir7-sin ^], et finalement prennent la forme

e^ÇSL cos Po: + N sin ^x\

246 LIVRE VI. — CHàPITAE II.

quand on établit entre les constantes indéterminées

C,,Ca,M,N les deux relations

On peut encore simplifier cette expression eu posant

M=^coss, N=-^X8Îne, ce qui donne

ô^(M cos p^ -H N sin ^) t=^' cos(par + e) :

alors \ e sont les deux constantes arbitraires.

Si la partie réelle a du couple de racines imaginaires que nous considérons, est négative, le facteur ei" décroît indéfiniment pour des valeurs croissantes de Xy tandis que le facteur Xcos(^x + e) oscille périodiquement entre les valeurs — X et -f"^* '* fonction donnée par le produit de ces deux facteurs éprouve donc des oscillations périodiques dont l'amplitude va en décroissant très-rapidement pour des valeurs croissantes de x. Au contraire, pour a positif, l'amplitude des oscillations de la fonction irait en croissant avec une grande rapidité et au delà de toute limite, ce qui est manifestement incompatible avec la loi de tout phénomène naturel. Un cas semblable ne saurait avoir qu'une existence purement abstraite.

Lorsque l'équation (m) n'a que des racines imaginaires dont les parties replies s'évanouissent, la valeur complète de^est une suite de termes de la forme

Xcosfpj:-4-«). (ti)

Imaginons que j' désigne la quantité variable avec x, dont une grandeur s'écarte en plus ou en moins de sa valeur moyenne y), ou ce que les astronomes appellent plus brièvement XincgalUé de » : cette inégalité sera la somme de plusieurs inégalités périodiques, exprimées chacune par un terme de la forme (yi). La constante \

EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 247

se nomme le coefficient de l'inégalité; elle en détermine VumpUtudCy et dépend, ainsi que la constante e, des va^ leurs initiales de la fonction et de ses dérivées. Le nombre ^ détermine V étendue de la période, puisque l'inégalité reprend les mêmes valeurs pour des valeurs de x dont la

différence est — : la grandeur de P est donnée par Té-

quation difierentielle, indépendamment des valeurs initiales de la fonction et de ses dérivées. Toutes ces considérations sont d'une application fréquente, à l'occasion des phénomènes soumis à la loi de périodicité.

460. Lorsque quelques-unes des racines de l'équation (j7i) deviennent égales entre elles, l'analyse précédente se trouve en défaut. Soit, par exemple, mi=m^ : les termes C,^'"'*-|-Ca^*' se confondront en un seul (Ci-|-C,)e'"^', et le coefficient Ci-J-C» n'équivaudra qu'à une seule constante arbitraire [i64], en sorte que l'intégrale {c) n'aura plus la généralité requise. Dans ce cas, si nous

posons

j, = ^i'(A, + B.j7), (la)

la substitution de cette valeur dans l'équation {b) donnera

IjC facteur

w," + P/n/'^-HQ/yi,"-» + . . .+T/W, +U

s'évanouit, puisque w, est racine de l'équation (/7^); et le polynôme qui multiplie B^e*"'' s'évanouit aussi*, puisque, par hypothèse, /7i^ étant une racine double de l'équation (m), est aussi une racine de l'équation dérivée

nmrr^ + (/* — i)Pm"-*-h (/i— a)Q/»''-5+ •. . -4-T=o.

Donc, si l'on continue de désigner par m^y^m^ les racines simples de l'équation (m), et si l'on pose

on satisfera à l'équation (b) dont on aura ainsi l'intégrale générale, à cause que les constantes Â.,,B,,C8,...Q,, en nombre n^ sont irréductibles entre elles.

On trouverait de même que, dans le cas de trois racines égales m^^m^y m^, il faut remplacer te trinôme

C,e»«^ + C,^»* + Cs^»* (i3)

par

et ainsi de suite.

La forme que prend l'intégrale générale dans le cas oîi l'équation (m) a des racines égales, résulte encore du calcul suivant.

Au lieu de poser immédiatement /7i,=mj, faisons d'abord /w,=;Wï-|-e, ce qui donnera

— ^,.[C, + C,(i + -p + + .^^ + etc.)],

en substituant à «" la série toujours convergente qui en est le développement. Il est permis de mettre cette expression sous une autre forme, en changeant de constantes arbitraires, et en posant pour cela Cx-|->C«=:A,; C,6=B.. De cette manière, l'expression ci-dessus devient

^" [a. + B.X + B.(ifl + ^ + etc.)] ;

et si Ton fait maintenant e==o, elle se réduit au second membre de l'équation (it.).

Le trinôme (i3) ayant été remplacé par

dans le cas oîi les deux racines m,, m, deviennent égales, on pourra faire m3=mr\'h ^^ 9^^ change l'expression précédente en

tx %^a^ t^x^

=^''[A,H-B.a;+C8(H 1 h ç + etc.)].

Rien n*empéche de changer de constantes en posant

A, + C, = P., B. + CaenzE., iC,e*c=F,;

au moyen de quoi le second membre de l'équation précédente devient

et se réduit à

lorsqu'on fait e==o. La même méthode s'applique évidemment au cas où le nombre des racines égales devient quelconque. Il est bon de connaître cette méthode que les analystes ont souvent employée dans des cas ana<logues et plus compliqués; bien qu'elle soit sujette à quelques difficultés qui disparaissent lorsqu'on justifie directement, comme nous l'avons fait d'abord, la forme attribuée à l'intégrale générale , dans l'hypothèse où l'équation (m) acquiert des racines égales.

461. L'équation (b) peut rarement s'intégrer lorsque les coefficients sont des fonctions de x. Prenons pour exemple l'équation du second ordre

r" + P/-hQ7 = o:

si l'on pose

elle devient

et lorsque cette équation du premier ordre en z eia;

peut s'intégrer, par la séparation des variables ou autrement, on a par les quadratures la valeur de^ en x.

En général, si Ton substitue dans l'équation [b) la valeur Aej en z donnée par l'équation {d\ la transformée en z et a: s'abaisse à l'ordre /i — i,mais en cessant d'être linéaire.

On intègre les équations linéaires de la forme {a 4- bx)y^'') + P(a -f- bx)"' '/(«-') 4- Q(a -f bxy- »/«-») . . .

. . .-HT(a-|-.i^)+U = o, [e)

oîi P,Q, T,U désignent encore des coefficients constants, en posant ^;^=:(a-j-éa;)"', ce qui donne, pour déterminer 7w, l'équation algébrique du degré n

/w(/w-— i). . .{ni — rt+ i) + -r.m^m — i). . .(m — w + a)

Q / N / ON Tw U

-hp.w(/»— i)...(/w — /i-f-3) + ...+^;^+^=o;

en sorte que, si l'on désigne par /w„w„ w« les n racines de cette équation, et par C„ C,, .... G, des constantes arbitraires, l'équation {e) a pour intégrale générale

j==: C.(^ -4- bxY^ + C,(a + bxY^ -f- . . . + C„(a -+■ hxY^ .

Cette intégrale est donc transcendante, à moins que l'équation en m n'ait toutes ses racines rationnelles.

462. Si l'on connaissait une valeur particulière ^„ propre à satisfaire à l'équation (è), on pourrait abaisser d'une unité l'ordre de l'équation {b) et même l'ordre de l'équation (a). Pour cela il suffirait de faire

z désignant, comme ci-dessus, une nouvelle variable, fonction de x. Remarquons à cet effet que , si l'on désigne par iijV des fonctions quelconques d'une même variable indépendante, on a :

EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES. 251

d,uvz=. udv + çdu , d^.uv^s=z ud'û -4- ^dudif + i^rf'u,

En conséquence de ces formules^ la substitution de la valeur de y dans l'équation {a) donne

. . . + (/<»)+?/.«-"'>+ Q/r*^ + . . . + UrJ/zd!r=V. Or, le coefficient dey*z^dans cette équation est nul par hypothèse, puisque^, est une intégrale particulière de l'équation {b). Si l'on divise cette équation par^, qui est une fonction connue de x, on la ramènera donc à la forme

P,,Q,,. . .T,, désignant comme PyQ,. . . .T, des fonctions connues de Xy et l'ordre de l'équation (a) se trouvera abaissé d'une unité.

Dans le cas où il s'agit d'intégrer, non pas l'équation (aj, mais l'équation (é), la dernière équation obtenue est remplacée par

Dans cette hypothèse, si l'on connaissait une seconde valeur particulière ^„ propre à vérifier l'équation (è), l'une des valeurs de z tirées de l'équation (é,) devrait vérifier l'équation {f\ après qu'on y aurait remplacé y par^,. On aurait donc, en désignant par z, cette valeur particulière de z,

y^=yjz^dx, ou z^=^ JJ >

Donc , si Ton connaît deux intégrales particulières de l'équation {b\ on connaîtra par cela même une intégrale particulière de l'équation (è,); et par suite l'ordre de l'équation (b^ s'abaissera d'une unité au moyen de la transformation z-=iz,^fudx. Comme ce raisonnement peut être continué de proche en proche, il s'ensuit que si Ton connaît m intégrales particulières de l'équatioa {b\ l'intégration générale de cette équation, et même celle de l'équation (a), seront ramenées à dépendre de l'intégration d'une équation différentielle de l'ordre n — /w; de façon que celle-ci étant intégrée, on aura l'intégrale générale de l'équation (a) par de simples quadratures. Ce beau théorème est dû à Lagrange; mais la démonstration donnée ci-dessus, a l'avantage, comme M.Libri l'a fait voir dans un mémoire fort intéressant ('), de mettre parfaitement en lumière les analogies qui rattachent étroitement la théorie des équations algébriques à celle de l'intégration des équations différentielles linéaires.

463. Quand les coefficients P,Q, .... U de l'équation {a) sont des nombres constants, le dernier terme Y étant seul fonction de .r, on connaît n intégrales particulières de l'équation (b).

m^^m^^. . . .m^ désignant toujours les racines de l'équation {jn). L'intégration générale de l'équatian (a) se trouve donc ramenée aux quadratures.

(') Journal de mathématiques de M. Crelle, tom. X.

^QUATlÔIfS DIFF]£RENTIELL£S LINEAIRES. 253

Soit, par exemple^ Téquation linéaire du second

ordre

/' + Pr' + Q7=V,

cil P,Q désignent des nombres constants : /t?,^, sont les

racines de l'équation numérique

/w* + Pm + Q = o, (g)

et l'on a

Posons

y:=.y^zdx^==^d^^'f zdx :

la transformée en z sera

z' + (2/», + P)j3 = Vc-"»', ou ^ - (/w, — m j)z == Vtf-'*!',

à cause de P= — (^i-j-zw*). Faisons en outre

la transformée en £^ donnera-

/Wj — /w.

De là on tire

ou bien^ en intégrant par parties,

Les deux intégrales indéfinies sont censées renfermer chacune une constante arbitraire.

Lorsque m^^m^ sont deux racines imaginaires conjuguées, de la forme aipi/ — i, l'expression précédente se change en

y=.— (sin ^xf^er^ cos ^.dx — cos p^y Ve~**sin ^x . dx) .

Enfin, si Ton avait m^=m^^ le second membre de l'équation [h) se présenterait sous la forme 7 ; mais, en pre-

nant les dérivées du numérateur et du dénominateur par rapport au paramètre m^^ et en posant ensuite m^=m^j on trouverait pour ce cas

yz=ze*^\xfSe'^^''dx — fSer^^*xdx)>

464. Nous ne quitterons pas ce sujet sans faire connaître la méthode employée communément pour démontrer le théorème du n** l\^i.

Supposons d'abord que Ton connaisse n intégrales particulières de l'équation (&), de manière qu'on ait pour l'intégrale générale de cette équation

nous disons que cette valeur de y peut encore être prise pour l'intégrale générale de l'équation (a), pourvu que l'on considère les facteurs C,,C,,. . . .C^, non plus comme des constantes, mais comme des fonctions de Xy qu'il s'agit de déterminer convenablement. Dans cette hypothèse en effet, l'on a

+7xC'.+7,C,+73C'3 4-..:+rnC'„

(C/ désignant la dérivée de Q par rapport à x)j et si l'on assujettit les fonctions Q à vérifier l'équation

7iC\ 4-/.C'. +73^3 +. . .+7«C'» = o, il reste

j' = Cy. + C,y, +63/, +... + €,/„

comme dans le cas où les facteurs Q sont des constantes.

De cette dernière équation Ton tire

7" = C.7". + C,7\ + C,7% + ...+C„7% +yxC\-h/.C'.+/3C'3 + ...-hy.C',,

ou simplement

ISQUATIOWS DIFFIÉRENTIELLES LINÉAIRES. 255

quand on assujettit les dérivées C\ à vérifier l'équation de cx>ndition

/,C\+yaC',+/3C'3-h...+y„C,=o.

En continuant de la sorte, on trouve que la valeur de^ donnée par l'équation (/), et qui par hypothèse vérifie l'équation {b\ satisfait aussi à l'équation {a)j pourvu que les dérivées C'i vérifient le système des équations de condition ,

Xr C\-h7. C',-h73 C'3 + ...+7„ C'„=o,

7^c^-hr^c^+7^c',+...+y'„c^=o,

Or^ de ces équations en nombre n on tire la valeur de chaque inconnue C, égale à une certaine fonction rieX, et par conséquent une simple quadrature donne

C, ^==^fxiixdx + Ci ,

Ci désignant une nouvelle constante arbitraire. On obtient donc de cette manière, par de simples quadratures, l'intégrale générale de l'équation (a), avec les n constantes arbitraires qu'elle comporte.

Supposons maintenant que l'on ne connaisse que n — I intégrales particulières de l'équation (i) ; et afin de simplifier l'exposition, prenons pour types des équations (a) et {b) les équations du 4* ordre

^.+py//+Q^- + T7'+U7=V, (i4)

7^+P7'" + Q^''+T7'+Urz=o :

/i,^„^3 désignant trois fonctions connues de x qui satisfont à la dernière équation. Si l'on veut que la fonction

7=C,rx-4-C.7. + C373 (i5)

satisfasse à l'équatioa (14)9 on peut encore établir entre

les facteurs inconnus C. , C, , Ca les deux équations de

condition

au moyen de quoi les valeurs de y, y conservent la même forme que si les facteurs Cx,C,,C3 étaient constants; mais les valeurs dej^" \^^ contiennent les premières et les secondes dérivées de ces mêmes facteurs ; et pour que la fonction (i5) satisfasse à l'équation (14)9 il faut encore assujettir les facteurs C„C„C3 à vérifier une troisième équation