C.(ay".+P7".)+C'.(ay".+Py'.) + C',(a/",+Pr

On tirera des équations (16) et de leurs différentielles les valeurs de C',,C'3,C"„C"3 en fonction de C'„C"x; et on les substituera dans l'équation (17) qui deviendra une équation du second ordre par rapport à C^,Xj ou du premier ordre par rapport à C'„.r. Celle-ci étant intégrée, on aura la valeur de C, en x^ et par suite celles def Ca,C3 en x au moyen de simples quadratures. Les quatre intégrations ou quadratures auront amené quatre constantes arbitraires, de sorte que l'intégrale (i 5) jouira de toute la généralité requise.

En suivant absolument la même marche, on prouverait généralement que l'intégration de l'équation (a) ne dépend que de l'intégration d'une équation de l'ordre n — nij et de m quadratures subséquentes, lorsqu'on connaît m intégrales particulières de l'équation (b).

ClHAPITiRE lïl.

b£ L'iiniGRATlON DES ÉQUATIONS OlFFÉRENTiELLES PAR LES SÉRIES ET PAR LES INTÉGRALES DÉ- FINIES.

465. Ou peut en général^ à la faveur du théorème de Maclaurin, développer une fonction en série ordonnée suivant les puissances entières dé la variable indépendante, lorsqu'on a entre la variable indépendante et la fonction utie équation différentielle d'uà ordre quelconque. En effet, soit

cette équation différentielle : on en déduira, par de^nou. velles diflférentiations, lés valeurs de^""*"*),^"+*>, et en général celles des dérivées d'un ordre quelconque supérieur k iiy en fonction de ^yj^yj^^y^* . . .^'^*^. D'un autre coté, la forinule de Maclaurin donne

«ÎP M *^ fif ***

r.+y.r+r'.TT-*-/

^•^- I.2,3...(ll-l)^*^* L^X^^fl^^ I.2.3...(/l-|-l)

H- etc.,

yt^yf^j etc:, représentant les valeurs de^, y\ etc., pour x=o. Si donc Ton fait 3c==Oyy=-jr^yy=y\^ etc., dans les expressions de Z^''^^^"''"'^, etc., déduites de l'équation différentielle proposée et de ses dérivées successives, on déterminera tous les coefficients de la série qui précède,

en fonction des n premiers coefficients ^4, ^'oi« • «J^o^"""'^- . T. II. 17

Ceux-ci resteront arbitraires et donneront à l'expression de y toute la généralité qu elle comporte. Une telle série peut servir à calculer les valeurs numériques de y pour toutes les valeurs de x qui rendent la série codvergente.

Prenons pour exemple Téquation y-=. — -(/-{-.t^) : le calcul indiqué donnera

/=7o — 7o - +ro -—Z —7"

L'équation proposée est de celles qui peuvent s'iutégrer en termes finis; par conséquent la série précédente est de celles qui peuvent être sommées ; et en effet, Too met l'expression de^ sous la forme

7=(ro-6)(i 1 ^H 5-- -----i-etc.)

-h ef 1—+^— ^^)=Kro-<>-'+6(i--'5c)+3

et cette valeur de j- se confond avec celle que donne l'équation (4) du n^ 44^9 qiiand on remplace la constante arbitraire ^o — 6 par la constante C, pareillement arbitraire.

Considérons encore l'équation

y'= — xx: (i)

on aura pour le développement en série

"+- 4ro — Tirr^ + ^^/o — 5 »- «*c. (2)

466. Si la valeur x==o rendait infini^ les coefficients différentiels^ à partir d'un ordre quelconque, il faudrait

IlfTEGRATIOIV IPAR LES SERIEE. 259

ordonner la série, non plus suivant les puissances de x^ mais suivant les puissances de a: — a, a étant une valeur de X qui ne rend point les coefficients diiFérentieis infinis. En conséquence on aurait

, X — a „ (x — a)* „, (x — aV ,.,

r=r.+/a +y'a^ — r-+/ 5~+etc., (3)

Ja-yf u'iT" a't «te, désignant les valeurs de j^,/,y, etc., pour x==a.

Soit, par exemple,

j'=: — f--|-a: p ou xy -^y + x* =,0

l'équation proposée : la valeur x=o rend^'^ infini, à moins que ^o ne s'évanouisse. Dès lors, ce cas particulier excepté, la série de Maclaurin ne peut pas être employée sous la forme ordinaire. Si on lui fait subir la transformation indiquée, on trouve

7«-f.fl* x—a

a désignant une valeur quelconque de x, autre que zéro*

La difFérentiation de l'équation proposée donne

xy^+2y-h!ix==Oj ay"'+37'+2=o, a:7'^+4r''— o, etc.;

d'où Ton conclut, dans Thypothèse oii Ion aurait à la fois x = Ojj^=o^ (aucune des fonctions dérivées ne devenant infinie),

/,=o, /'. = — f, /".=o, ^-=0, etc. En conséquence la proposée a pour intégrale particulière (correspondant à l'hypothèse j^o=o)/^= — -^x*. En effet , Ton a trouvé [440] pour l'intégrale en termes finis

260 LIVRE VI. CHAPITHE IIIv

Cl,

et cette valeur de y^ qui ne peut se développer suivant les puissances de x, tant que la constante C n'est pas nulle, reproduit la série (4) lorsqu'on la développe suivant les puissances entières de x — a, pourvu qu'on pose, ainsi que cela est permis, C=fl^«-|-îa^^. 467. Soit encore l'équation

7"=;= — -» ou j7y + ;^ = o. (5)

La valeur x=o rend ^''o infini, à moins que^^ ne s'évanouisse. C'est donc le cas d'employer la série (3), qui devient

r=ra+X a -*- —'^- —-• %-+etc., (6)

^ -^ ^ I ai. a a* i.a.3 ^ ^

et qui dépend des deux constantes arbitraires ^,,^V

Les dérivées successives de l'équation proposée sont

^y" + 37'^ + 7'" = o , etc. ;

ce qui donne, dans l'hypothèse où la valeur .r=o annulerait^ et ne rendrait infinie aucune des dérivées ^',^", y, etc.,

et par suite

7 =7 „ ( J? 1 K :t* 5-7 -f- etcj. (7)

Mais comme ce développement ne dépend que de la

constante arbitraire ^'q, il ne représente qu'une intégrale

pailiculière de l'équation proposée, laquelle intégrale

correspond à l'hypothèse ^0=0.

Représentons par /i la fonction de .2: que détermine

la série toujours convergente