INTÉGRATION PAR LES SERIES. DES CAS SINGULIERS

QUE PRÉSENTE LE PASSAGE DES INTÉGRALES INDÉ- FINIES AUX INTÉGRALES DÉFINIES.

S 1 . Intégration par les séries.

315. Lorsqu'on peut développer une fonction différentielle en une série convergente dont chaque terme est intégrable, on obtient, sous formé de série, l'intégrale de cette fonction, que l'on complète en ajoutant une constante arbitraire : et si la série obtenue par Tintégration est convergente entre des limites données, elle fournira , à tel degré voulu d'approximation , la valeur numérique de l'intégrale définie de la fonction proposée, prise entre les mêmes limites.

Prenons pour exemple l'intégrale

dont il a été question à la fin du dernier chapitre : on aura en série convergente

•S/mS

ax a'x* a X . .

^*= I H 1 1 • 4- etc. (i)

d'où

/e'^dx /" , 1 1 à'x flV = \ dx\--\'a'\ 1 ô4-etc.

ou bien

ef^'dx , a^x^ tCx .^. '=iconst, +loga: + ax -\ 1 — : — 5-5 +etc. [ô)

La série (i) étant convergente, il est aisé de voir

etc.

que la série (3) est convergente à fortiori pour toutes les valeurs de x. En conséquence, on aura, pour des valeurs de même signe, et d'ailleurs quelconques, des limites x^j x, ,

La formule serait en défaut, si les valeurs des limites étaient de signes contraires , auquel cas le terme

log[ -^ j devient imaginaire. Ceci tient à ce que la fonction sous le signe y éprouve une solution de continuité correspondant à x = p : cas singulier que nous avons déjà indiqué en exposant les principes de la théorie des quadratures [35 et 54] 9 et sur lequel nous allons revenir,

En développant en série le radical |/i— e»sin*^, on trouve

yv/i-tf»Mn»<p . d^ =zfdxf[i c* sin* <p -• *—- c^ sin^ <p