II. 2 I

on peut exprimer l'intégrale générale de Téquation (5), qui est linéaire, par jk=C,^, , pourvu que l'on considère C., non plus comme une constante, mais comme une fonction de x, qu'il faut déterminer en appliquant le procédé du n"* 4^4* ^^ obtient ainsi Féquation

d'où, par deux intégrations successives,

CtfC^ désignant deux constantes arbitraires. Ainsi l'intégrale générale de l'équation (5) a pour expression, outre la série (6),

jr=jr^Çc,J —+c,Jj ou bien jr=c,y,(j — ^c^^

468. Ija fonction déterminée par une équation différentielle peut souvent se développer en série procédant suivant les puissances négatives ou fractionnaires de la variable indépendante. Quand de tels développements sont possibles, on les obtient par la métbode des coefficients indéterminés, dont l'usage est presque toujours préférable à l'emploi 'direct de la série de Maclaurin, lors même que le développement est susceptible de procéder suivant les puissances entières et positives de la variable indépendante, ainsi que le montrera l'exemple suivant.

Prenons l'équation

/'= kafy, (8)

qui comprend comme cas particuliers les équations (i)

' et (5) : il s'agit de savoir si l'on peut en représenter l'intégrale par la série

j=z Aa:*-^" A,a;«' + A,a:*»-|-A3*» +etc., eh déterminant convenablement les coefficients A, et les exposants a, qui peuvent être positifs ou négatii^, entiers ou fractionnaires.

La substitution de cette valeur de j dans l'équation proposée donne

Aa(a-i)^~*+A,a,(a,-i)a:««-*+A,a,(a,-i)2:«»-'+etc. ^^AoT-^" -I- *A ,ar*«+" + M.a^^'+^-f- etc. On ne peut, rendre cette équation identique qu'en

posant

ai = a4-/(/i-i-2), A,a,(a, — i)=A:A/«,, au moyen de quoi tous les exposants a, sont numériquement déterminés, et tous les coefficients A, s'expriment en fonction de A, qui tient lieu de constante arbitraire.

On satisfait à l'équation (9) de deux manières, en prenant a=o et a=i. Aces deux solutions correspondent deux séries distinctes, chacune renfermant un coefficient arbitraire, et qui toutes deux vérifient l'équation (8) dont elles sont des intégrales particulières. La som^ie des deux séries donne donc l'intégrale générale [4^^]^ et si Ton désigne par Co,C, les valeurs du coefficient A qui correspondent respectivement à a = o, a=i , on trouve sans difficulté, pour l'expression en série de l'intégrale complète,

-4-C ^li-^ 1 • ■ 4-etci.

mTéGRATtON PAR LKS SÉRIES. 263

Toutes les fois que l'exposant n est un nombre entier positif, cette série procède suivant les puissances entières ' et positives de x^ et coïncide nécessairement avec celle que l'on déduirait dé la formule de Maclaurin. Co et C„ représentent alors jr^ et j\. Si Ion fait en particulier k==: — I, n=.i^ on retombe sur la série (a); et cette dernière inanière de l'obtenir a l'avantage de mettre en évidence la loi de formation des coefficients successifs.

Lorsqu'il reste moins de coefficients indéterminés dans la série qu'il n'y a d'unités dans l'exposant de l'ordre de l'équation différentielle, la série ne représente qu'une intégrale particulière : c'est la pi^euve qu'on ne peut dé^ velopper la fonction suivant une série de cette forme, qu'en assujettissant implicitement les constantes arbitraires à des conditions qui en réduise^t le nombre et qui^ restreignent la généralité de l'équation différentielle proposée.

Si, par exemple, on supposait dans l'équation (8) k= — 1,/2=— :^i, ce qui la ferait coïncider avec l'équation (5), les différents termes de la série qui multiplie Co deviendraient infinis à partir du second : ainsi cette^ série doit être supprimée, comme cessant de représenter une intégrale particulière de l'équation (8); bien entendu que la série qui multiplie C, coïncide alors avec celle qui multiplie jr'o dans l'équation (7).

469. Conformément à la remarque du n° 46 î, l'équation (8) s'abaisse au premier ordre, mais en cessant d'être linéaire, si l'on fait^^^r^^^*'*, ce qui donne pour la transformée en z

Réciproquement, ëtant donnée l'équation du premier

ordre

y -^-ay^ rx^baf"^ (lo)

(qui porte le nom de Riccati^ et qui a été Tobjet de beaucoup de recherches), on en ramènera l'intégraticNi à celle de Téquation (8), qui est plus simple à cause de la forme binomiale et linéaire, en posant

I du au dx'*

d'où, pour la transformée en u,

équation identique avec (8), lorsqu'on remplace u par j-, et ab par k.

On ramène encore l'équation (8) à la forme

en changeant de variable indépendante et en posant

.r* =^;car on trouve amsi

dV "*" w -h ^tdt — /- ^ - ^ ^"^

d^y n I dy kj

et pour faire coïncider les équations (i i) et (l 12), il suffit de changer / en a: et de prendre

/»== ? hz

Enfin réquation

rentre encore dans les équations (8j, (10) et (i i), puisqu'il suffit de faire ^^^ii=:j;'"w, pour la changer en

IlTTÉGRATIOIf PAR LES SJ^RIBS. 265

d^U 2m du ,

dx* X dx Les équations ( 1 1 ) et ( 1 3) se présentent dans des pro» blêmes de physique mathématique, et sous ce rapport elles offrent plus d'intérêt que les équations (8) et (lo) dont elles sont des transformées.

470. Si nous nous étions proposé d^appliquer directement à l'équation (i3) la méthode suivie pour le développement en série de l'intégrale de l'équation (8), nous aurions eu à rendre identique l'équation

A[a(a - 1) - in(/» - i)]jf - • -f. A,[a,(a,- 1) - /7i(i» - i)}r««-» + A,[a,(aj— i) — m(/w-. i)]a:*»-» + etc. = AAjc* 4- AA,a?*« + hk^* + etc. ;

ce qui entraîne lies conditions

A|{a,(a,- — i) — m{m — i)] = AA,..,.

La troisième formule devient, quand on remplace a^ par sa valeur tirée de la seconde,

A,[a(a — i)-h2/(2j + 2a-^i) — jw(m-.— i)]=AAf,,

ou plus simplement, en vertu de la première oondi*

tion ,

2* (ai + aa — i ) A,- = A A,« . . ( 1 5)

Les racines de l'équation (i4) sont a=/w, a== i — m\ on trouve en conséquence pour la valeur de l'intégrale complète, exprimée en séries,

-f-C,a;'-'«[i +-^^ r4- . f^ ,-7^ r+etc.].

' 2(o — a/w) 2.4.(3 — a/w)(5 — aw) -•

* 471. IjCS séries que Ton vient d'obtenir ont cela de

remarquable qu'elles peuvent être sommées et remplacées

par des intégrales définies de la nature de celles que nous avons considérées dans les trois derniers chapitres du livre précédent. Effectivement, quand on fait dans la formule (v) du n*^ Sog, ^=w, |jL3=aa — i,v=:2i, il

vient

^ . . , cos" CD sin** w

/cos*' <osin'«"'(daa)=z — ;

^ 2i -h aa — I

ii — I

ycos"""* <«> sin "*""' Wct);