C,ar'~"/ (iH cos'cûH ;r-rCos*a)-fetc.)sm'-»"eùrf(i
en attribuant successivement à aies valeurs m et i — /w,
qui sont les racines de l'équation (i*4)-
Maintenant on a
fu:' , AV^ , AV e
I H cos' (ù H- ^— cos* <ù H ^ ' ^ cos** w + etc.
= cos(i/i::7 .xl/Â . cos to)=^ e'^^- "»« -4- 1 d-'^* • *^°*'' ;
IITTÉGHATIOlf PAR LES S^HIES. 267
donc
Cette expression peut encore se simplifier; car on a, à cause du choix des limites et de la nature des fonctions
sm (o, cos co,
donc
/ #-»*=«• «sin^wrfwz^:/ ^ •»* •» sin* «orfo) ; X=:CoX^I ^^^•««••sin^^-'wrfw
,0?'-"" / *^^* • «•» " sin'-"" wrfw. (17)
L'équation ( 1 6) ne subsiste que sous la condition que a désigne une quantité réelle positive, ou une quantité imaginaire à partie réelle positive. Donc, pour ne considérer que le cas de la réalité des valeurs, l'équation (17) ne subsiste que sous la condition que m et 1 — m désignent des nombres positifs, ou que la quantité m tombe entre les limites o, 1. Moyennant cette restriction, l'équation (17) donnera l'intégrale complète de l'équation (i3), exprimée par des intégrales définies.
Aux limites 7721=0, //i=f, l'équation (r3) se réduit, à y'z=Lhy'^ et l'on sait que dans ce cas elle a pour intégrale complète
Quand on fait dans la formule (17) m^^\^^ elle donne •
et comme les deux constantes arbitraires Co,C, se con-
fondent en une seule, on n'a plus qu'une intégrale particulière. Cependant, même dans ce cas, on obtient l'intégrale complète par un artifice de calcul déjà employé [460]. Faisons dans le terme qui multiplie Co,/72=7 et dans celui qui multiplie Q, 772=4 -|-e: il viendra
+ C,l/iy V^/«>«-(ar sin* a))~*rfa>. (18) Or on a
«-= I — - log tt + — (log uy — j-^ (log uf + etc.;
de soi*te que si l'on développe l'expression (18) suivant les puissances de e, et qu'on pose C^-[-C,=:A, C,e= — B,
■4-B\/i / ^é?*^^*^*»»- log(^ sin* ifi)d(ù + eBX,
X désignant une quantité qui conserve une valeur finie quand e s'évanouit. Donc, si l'on pose maintenant e=o^ on aura
7 zzz Ai/;y e**^- «»• «fl&ii
+ Bv/îy ^^*'«»»Hog(xsin*a))fi&>,
pour l'intégrale complète de l'équation (i3)qui devient dans ce cas
* 472. Si m a. une valeur positive plus grande que l'unité, le terme affecté du coefficient C, doit être supprimé dans l'équation (17); et au contraire on ne
INtEGRATIOir PAR LES SÉRIES. 269
doit conserver que ce terme quand m a une valeur négative. Dans l'uu et l'autre cas on n'obtient donc immédiatement y sous forme finie ^ qu'une intégrale particulière de l'équation (i 3). Soit^, cette intégrale particulière dans laquelle on aura fait, pour plus de simplicité, la constante arbitraire égale à l'unité : on trouvera, par un calcul semblable à celui du u^ 4^7, que l'intégrale générale est
Si l'on pose cos cû==^, on mettra l'équation (17) sous la forme
l'équation (i3) aura pour intégrales particulières, dans le cas de w > t,
et dans le cas de m < o,
7=c^'-«r"*"Vv'*-'i(i— ?:')—< (21)
Il est clair, d'après le n® 3i3, que quand m désigne un nombre entier positif, l'intégration définie indiquée dans la formule {16) s'effectue, et qu'il en est de même de Tiatégratiou indiquée dans la formule (21), lorsque m désigne un nombre entier négatif. Donc,, toutes les fois que m désigne un nombre entier, positif ou négatif, on a sous forme finie, et dégagée du signe f, une intégrale particulière de l'équation (i3); et d'après la formule (19), la détermination de l'intégrale générale de cette même équation se trouve ramenée aux quadratures.
* 473. Rappelons maintenant que l'ëquation de
Riccati
y -I- af = bx" (lo)
se change lorsque Ton pose
^ au dx'* '
en
équation qui devient à son tour
flPtt a/w du -
et enfin
de ^"^A". ("
quand on pose
Soit m=dzi^ ; désignant un nombre entier positif: on tirera de la seconde des équations précédentes
L'intégrale générale de Téquation (aa) se ramène aux quadratures, toutes les fois que m est un nombre entier positif : donc l'intégrale générale de l'équation de Riccati est aussi ramenée aux quadratures, pour toutes les valeurs de n comprises dans la formule (^^3); ce qu'on trouverait également en cherchant dans quels cas l'équation de Riccati se prête à la séparation des variables.
