Soit
une équation différentielle du premier ordre, dont on a l'intégrale complète sous la forme
a désignant la constante arbitraire introduite par l'intégration : d'après ce qu'on a déjà vu [liv. IV, chap. II], l'équation ,
résultant de l'élimination de a entre l'intégrale {a) et l'une des équations
satisfait encore à l'équation (y) dont elle est une intégrale singulière; à moins qu'elle ne se confonde avec une intégrale particulière, la valeur de a tirée de l'une des équations (af) se réduisant à une constante, ou à une foùction de x,^ qui elle-même se réduit. à une constante en vertu de l'équation (9). On sait de plus, que l'équation (?) appartient à une ligne qui touche ou enveloppe toutes les lignes dont le système est représenté par l'in-
â72 LIVRE VI. GMAPITtlË IV.
tégrale générale (a), tant que le paramètre a conserve son indétermination.
De là résulte une règle très-simple pour trouver les intégrales singulières d'une équation différentielle du premier ordre, dont on a préalablement déterminé l'intégrale générale : nous disons de plus que ces intégrales singulières peuvent être assignées, sans qu'on ait besoin de connaître l'intégrale générale, et lors même qu'il y aurait impossibilité d'assigner à l'intégrale générale une expression analytique sous forme finie, ce qui est le cas le plus ordinaire.
Effectivement la ligne enveloppe qui représente l'intégrale singulière, ne peut exister que lorsqu'il y a intersection entre les lignes qui représentent des intégrales particulières, et qui répondent à des valeurs distinctes de la constante arbitraire. Donc, pour les valeurs de j;,/ relatives à ces points d'intersection , la valeur de^' en x^y^ tirée de l'équation (/*), doit être multiple ; c'est-àdire que celte équation, supposée algébrique, doit être du second degré ou d'un degré supérieur par .rapport di y\ après qu'on en a fait disparaître les radicaux.
Il suit de là qu'en général tous les points correspondant à des valeurs de x^y qui ne rendent pas y' imaginaire, sont les points d'intersection de deux lignes au moins, prises parmi celles qui représentent des intégrales particulières.
Mais, pour les points situés sur l'enveloppe ou sur la ligne de contact de toutes ces courbes, il n'y a plus d'intersection, ou du moins une intersection disparaît : donc il faut que l'équation (/), où l'on considère^' comme l'inconnue, acquière alors des racines multiples, ce qui entraîne la condition
Donc réciproquement l'équation ( /') détermine la relation entre j; et ^ qui caractérise la ligne de contact ou Tintégrale singulière.
Prenons pour exemple Téquation différentielle
y\x^ — r^) — 'kxyf^x\ (i)
qui a pour intégrale générale
a désignant la constante arbitraire.
La première équation {a) donne dans ce cas a= — -j^ et cette valeur de a, substituée dans l'équation (2), donne pour intégrale singulière x'^-\'j^ — r*=o. Or, sans qu'on ait besoin de connaître l'intégrale- (a), l'équation (y) fournit la relation
et cette valeur de^', substituée dans l'équation (i), re* produit l'intégrale singulière déduite en premier lieu de l'intégrale générale.
475. Le succès de cette méthode tient à ce que Téquation différentielle est préparée de manière à ne pas contenir de radicaux. Si au contraire elle était résolue par rapport à^', ou mise sous la forme ^'=f(.r,^), la méthode se trouverait en défaut. Mais il faut remarquer que lorsqu'on différentie l'équation (/*) par rapport à y et par rapport à j;, en y considérant y' comme une fonction des variables x^jr^ déterminée implicitement par cette équation, on a
dy dy' dy' dx dx* dy'
Or, la valeur de ^ en x qui appartient à l'intégrale sin-
gulière , fait évanouir -^ : donc la même valeur doit
rendre infinis tes coefficients différentiels-^, -~, après
qu'on y a substitué pour^ sa valeur en a^jj-y tirée de l'équation (/*). Par conséquent, si l'on peut déduire des équations
dy dx
une valeur de ^ en x qui Satisfasse aussi à l'équation ( /*), cette valeur reproduira l'intégrale singulière.
Par exemple, l'équatioa (i), résolue par rapporta/, donne
d'où
dy ^" r* V x^ -f-^a — r* ^
et ces valeurs deviennent infinies quand on pose x'^X-'f^ — r'=:o, ce qui satisfait à l'équation (i) dont on obtient ainsi l'intégrale singulière.
476. Quand on différentie l'équation {^f\ en y traitant r,/' comme des fonctions implicites de .r, il vient
^ \dx^ dy^ )'dy' ^'■
Mais la valeur de j en a: qui donne l'intégrale sin-
gulière, annule^, et réduit Téquation (/") à
df df ,
donc cette, même valeur de^ en x met sous la forme \ la valeur
donnée par l'équation (c) ; ce qui fournit encore un autre procédé pour trouver l'intégrale singulière. En effet, Ton posera
puis on éliminera successivement^' entre chacune de ces deux équations et la proposée (y*). Si les deux équations résultantes ont un facteur commun, ce facteur donnera rintégrale singulière cherchée.
En opérant de cette manière sur l'équation (i), on trouve
L'élimination de^' entre la proposée et chacune des équations
/j'-4-^ = o, j'(j?'-— ^'*) — a:j = o, donne pour résultantes où le facteur commun est en évidence,
* 477. Il est essentiel de remarquer que la considération géométrique sur laquelle on s'est fondé dans les trois n^' qui précèdent, s'applique à toutes les lignes de contact des courbes données par l'intégrale générale, aussi bien à celles qui pourraient exceptionnellement représenter des intégrales particulières qu'à celles qui
276 LIVRE Vï. CHAPITRE IV.
représentent des intégrales singulières. Ainsi, après qu'on aurait cherché les intégrales singulières par Tua des procédés indiqués ci-dessus, il faudrait en outre s'assurer qu'on ne peut pas les faire rentrer dans l'intégrale générale, en particularisant convenablement la constante : vérification impossible, tant que l'intégrale générale n'est pas donnée. Le caractère distinctif des intégrales singulières doit donc se tirer de considérations analytiques, et pour cela il faut reprendre la question sous un nouveau point de vue.
Considérons une équation différentielle du premier ordre, mise sous la forme
à laquelle satisfait l'équation ^=:X, X désignant une certaine fonction de j;, sans constante arbitraire, de sorte qu'on ait identiquement
Pour que l'équation ^;'t=X coïncide avec une intégrale particulière, il faut que l'intégrale générale puisse être mise sous la forme
e désignant la constante arbitraire, et f une fonction de X et de e, qui ne s'évanouit ni ne devient infinie pour e=o. On aura en même temps
f(:r,7)=f(a;,X)+(e(p)*.trf, W
fc désignant l'exposant de la plus haute puissance de e qui soit facteur de
%,X+eç)-%,X),
et vi indiquant une fonction de x et de E9, qui ne devient point nulle ou infinie pour e=o. Posons
DKS EQUATIONS INTEGllALES SINGDLIÈRES. 277
trf = xSo + («?)^'trf, + («9)^»xS, 4- etc.,
en désignant par % xii des fonctions de Xj et par oLi^^i des exposants positifs formant une série croissante : puisque la fonction f est donnée, on connaîtra le développement de f(j;,X-[-e9) suivant les puissances de eç; et par conséquent les fonctions Xi5, , ainsi que les nombres ^,, sont censés connus : il s'agit de déterminer les fonctions (fi et les exposants a^ de manière à satisfaire à l'équation (h) indépendamment de e.
Or, la substitution donne, après qu'on a supprimé les termes qui se détruisent en vertu de l'équation (e),
+ e*+P«(<Po + 6"'Ç. + e"»<p, + etc.)*+P.trf^ + etc.
Supposons A'=i : on aura, pour déterminer %, l'équation
^ = (p^tJo» d'où 9„=^«o^;
il faudra poser ensuite
et en continuant ainsi, on déterminera de proche en proche toutes les quantités qui entrent dans le développement de 9, c'est-à-dire qu'on développera l'intégrale générale en série ordonnée suivant les puissances de e.
Soit ^ > i : on ne pourra rendre l'équation (a) identique qu'en posant d'abord
-=—=0, ou (uz=zcanst.
dx
Prenons, pour plus de simplicité, cette constante égale à l'unité : on fera ensuite
et en prolongeant le même calcul, on obtiendra encore successivement tous les termes du développement de l'intégrale générale.
Mais si l'on a au contraire A'< i, il sera impossible de rendre l'équation (a) identique : par conséquent la solution ^/=X ne pourra pas résulter de l'intégrale générale moyennant la particularisation d'une constante arbitraire; ce sera donc une intégrale singulière de la proposée.
Or, d'après ce qu'on a vu sur les cas de défaut de la série de Taylor [io6], la valeur X, pour laquelle l'exposant A* est < I , rend infinie la dérivée.
dy dy'
^, . dy' donc Téquation -^ z=:± oo est le véritable criteriumies
dy
intégrales singulières, et les renferme toutes comme facteurs, à l'exception de celles qui seraient de la forme x=zconsUj et qu'on obtiendra en traitant dans la proposée la variable^ comme indépendante.
Par conséquent, en nous reportant aux équations {b\
si les valeurs de^ en x qui font évanouir-^, conservent aux dérivées -/-, -^ des valeurs finies, ces valeurs
dy ^ dx
appartiendront à des intégrales singulières de (/); mais si elles annulent ces mêmes dérivées, il faudra chercher par les procédés ordinaires les valeurs des seconds membres des équations (é), qui se présentent alors
JD£S itQUATIOKS INTÉGRALES SINGULIÈRES. 279
SOUS forme indëtermiaée. Quand ces valeurs seront in^ finies^ les solutions qu'il s'agit d'éprouver constitueront encore des intégrales singulières ; sinon, elles rentreront dans la catégorie des intégrales particulières, et néanmoins continueront de représenter des lignes env^ loppes.
La démonstration que nous venons dé donner, d'après M. Poisson, n'est pas exempte des difficultés attachées à l'emploi des séries qui peuvent devenir divergentes : nous aurons encore à revenir sur ce sujet , en parlant de la construction des équations différentielles.
* 478. Par les équations (rf), (e), (^), (A), on a
<^^)==f^:.,j)-f(:r,X)=(89)*tïJ=(r-X^^
et si l'on change de variables en posant^ — X — f/, cette
équation devient
du
x;} désignant alors une fonctioli des variables x^u^ qui n'acquiert pas une valeur nulle ou infinie pour m=o. Nous pouvons encore changer de variables et prendre à celte fin M'"^=i;, ce qui mettra l'équation différentielle sous la forme
Pour A < I , cette dernière équation se décompose d'ellemême en deux autres
La première, qui équivaut à jr — ^X;i=o, donne l'intégrale singulière; la seconde au contraire ne peut plus
280 LIVKE VI. — CHAPITJRE IV.
être satisfaite par cette intégrale singulière^ puisque tïj est une fonction qui ne s'évanouit pas avec v.
Donc 9 lorsqu'une équation différentielle du premier ordre comporte une intégrale singulière, on peut par un changement de variables la transformer en uneautre^où l'intégrale singulière apparaît comme facteur commun; de sorte qu'après la suppression de ce facteur la transformée n'a plus d'intégrale singulière, et représente, dans un système de coordonnées rectangulaires, une série de lignes qui n'ont pas d'enveloppe.
* 479. Appliquons ceci à l'équation
y^—iayr' + 4x=o, ou / = 2{a:±,[/^n})^ {i) dont l'intégrale générale est
y=z2aa:—a\ (4)
et qui représente en conséquence un système de droites ayant pour ligne de contact la parabole x^ — ^/=o. Faisons .r* — ^=iz:w = v* : l'équation (3) deviendra
du ^ . /"dtf
dx
=Fav/«, ou p(^±i) = o.
Après la suppression du facteur v^ il restera l'équation -j- ± I =0, qui a pour intégrale générale
P = zp(a: — a), (5)
et qui, lorsqu'on prend x pour abscisse^ et v pour ordonnée rectangulaire, représente un système de droites parallèles, n'ayant point par conséquent de ligne de contact. D'ailleurs, si l'on substituait pour j sa valeur en V et x dans l'équation (4), on retomberait sur l'équation (5).
L'application de cette méthode à l'équation (i) ne serait pas exempte de quelques difficultés, dans le cas où
Ton voudrait conserver x comme variable indépendante. Mais si l'on met cette équation sous la forme
et si Ton chasse ensuite x'^ et xdx au moyen des équations auxiliaires
'^* + /* — r* = «', xdx+jrdy^=^udu^ elle prendra la forme très-simple u!(cluoç:dy)==:o; de sorte qu'après la suppression du facteur Uy elle ne comportera plus d'intégrale singulière.
* 480. Inversement, on peut transformer une équation différentielle qui n'admet pas d'intégrale singulière, de manière qu'après la transformation elle admette pour intégrale singulière une équation donnée. Soit, par
exemple, l'équation trouvée ci-dessus — d=i=o, dans
laquelle il s'agit de substituer pour v une fonction de x et d'une nouvelle variable z, telle qu'après la substitution^ l'équation résultante admette pour intégrale singulière Téquation linéaire
z — nLr=io^ (6)
Oq multipliera la proposée par (2 — irtxY^ k désignant un nombre compris entre zéro et l'unité, ce qui la changera en
{z — mxydv ± {z*^nkxfdx = o, (7)
Gela fait, déterminons la variable z, qui doit être fonotien de v et de x, de manière qu'on ait
il viendra par l'intégration
I — k X désignant une fonction arbitraire de x; et par
suite
dz — mdx=:{z — ma:y(dif -f- rfX).
Tirons de là la valeur de dv et substituons-la dans Téquation (7) : celle-ci deviendra
dz — mda: — (;s — mxf{d^ ip dx) = o ; et il est visible que l'équation (6) y satisfera comme intégrale singulière.
*481. Nous avons vu [448] que l'équation du premier
ordre
7=^7 + 4'/ étant soumise à une seconde diiférentiation, donne l'équation du second ordre
qui se décompose immédiatement en deux facteurs^ dont l'un fournit l'intégrale générale, et l'autre l'intégrale singulière de la proposée. Il faut généraliser ce fait de calcul , et montrer que lorsqu'une équation du premier ordre admet une intégrale singulière, on peut toujours la mettre sous une forme telle que sa dérivée se décompose en deux facteurs, dont l'un donne l'intégrale singulière, par l'élimination de y' avec la proposée, tandis que l'autre, qui est annulé par la valeur dej^ en x tirée de l'intégrale générale, ne l'est plus par la valeur tirée de l'intégrale -singulière.
L'équation
, dV dP , f , s
étant résolue par rapport à a donnera
et si Ton substitue cette valeur de a dans l'équation (fl), l'équation résultante
F(jr,7,xi)=o (/■)
équivaudra à l'équation (/*), en ce sens que, si elles ne
DES ÉQUATIOJVS I]VTjèGRA.LES SINGULIÈRES. 283
se confondent pas, ou passera de Tune à l'autre en mul* tiplîant le premier membre de la première par une fonction convenablement choisie des variables x^y^y'. Or, en diffërentiant l'équation (y ), l'on a
et de plus la somme des deux premiers termes est identiquement nulle, puisqu'on a substitué pour a, dans la fonction F, sa valeur tirée de l'équation (a\) : donc la dérivée de l'équation (y) se réduit à
et se décompose en deux facteurs
rfF
dvi dx^ . dxi „ , . .
L'équation (y,), qui est du second ordre, a évidemment pour intégrale du premier ordre l'équation (y); et l'élimination de y entre les équations (/) et (y ) aura lieu si l'on élimine 'tà entre les mêmes équations , ou si l'on remplace vi par a dans l'équation (y ) , c'est-à-dire que cette élimination donnera l'intégrale générale de la proposée.
De même l'élimination de^' entre les équations (i) et (y,) s'opérera par l'élimination de irf entre les mêmes équations, ou par l'élimination de a entre l'équation (a) et sa dérivée par rapport à a : elle conduira donc à l'intégrale singulière de la proposée, ou du moins à l'équation d'une ligne de contact des courbes qui en représentent les intégrales particulières.
Gn voit aussi par ce calcul, que la valeur de^ en x
tirée de l'intégrale singulière, laquelle donne pour/ une valeur qui vérifie la proposée, ne donne pas pourj" une valeur propre à vérifier l'équation (y,), ni par conséquent pour j*'",jr'% etc., des valeurs propres à vérifier les dérivées successives de la proposée.
Appliquons cette analyse à l'équation (2) : on
aura
dF dF
dœ dy d'où •
t^«p' F(*,jr,^)=x--^-f;-r-=o, (8)
équation qui se confondrait avec (i) par l'expulsion du dénominateur /'*. I^ diffërentiation de l'équation (8) donne
ou bien
+ -^y z=zix — 2rt/,
La valeur de^ tirée de l'équation^-] — 7=0, et subs-
tituée«dans la proposée, donne l'intégrale singulière .r*-|-^ — r*=o. L'autre facteur est la dérivée par rapport
à ^ de la fonction — : l'intégration donne donc -7 =a;
et cette valeur de y\ substituée dans la proposée, reproduit l'équation (a).
*% a. Intégrales singulières des équations diffërentielles
des ordres supérieurs.
482. Soit une intégrale première cje l'équation de Tordre /i-f-i
a désignant la constante arbitraire introduite par Tintégration : si Ton élimine a entre l'équation (K) et
l'équation résultante
?(^j/yy> • • .7(''))=o (x)
satisfera aussi à l'équation (A*) et en sera une intégrale singulière, sauf le cas exceptionnel où la valeur de a tirée de l'équation (K) se réduirait à une constante, immédiatement ou en vertu de l'équation (x), ainsi qu'on l'a expliqué pour les équations du premier ordre.
L'équation (k) a n intégrales premières de l'ordre n, que l'on peut représenter par
Or, si l'on élimine respectivement les constantes arbitraires de chacune de ces intégrales, au moyen des équations dérivées
on retombera toujours sur la même intégrale singulière.
Pour fixer les idées, considérons une équation du second ordre
dont l'intégrale complète soit
F(ar,7,a„aJ=o, (L)
a.^a^ étant les constantes introduites par les deux intégrations successives.
Par la théorie générale, on aura les deux intégrales
du premier ordre, en éliminant alternativement a, et a, entre l'équation (L) et sa dérivée
dF d¥
d. • rfr^ -^' (ï^')
que, pour plus de commodité, nous représenterons par
Cette élimination donnera
puis on aura les intégrales singulières du premier ordre, en chassant a^ et a^ de chacune de ces équations, au moyen des suivantes
Supposons que ce soit l'intégrale singulière donnée par F, que nous voulions obtenir : Je calcul indiqué revient à éliminer «,, a, entre les équations (L), ff ), et la dérivée de celle-ci
di di da^ ,..i^
da, da^ da^ ' . '
prise par rapport à a, et a^ , mais en considérant a^ comme une fonction de (2,, implicitement déterminée ])ar l'équation (L). On a donc
da^ dF dF
da^ da^'da^^
ce qui change l'équation (f ') en
rfF ^^^ .^, ^
da^ da^ da^ da^ Ainsi l'intégrale singulière cherchée résulte de l'élimination deflj ,a, entre les équations (L), (f ), (f'«,i); et comme la dernière équation ne changerait pas par la permutalion des indices , la proposition se trouve démontrée. Il
DES JÉQUATIOWS INTI^GRALES SINGULIÈRES. 287
est facile d'étendre cette démonstration aux équations d'un ordre quelconque.
Soit, par exemple, l'équation du second ordre
qui a pour intégrale complète
et pour ses deux intégrales du premier ordre
F, =^* — 2^z,7'H-aî=o, (10)
\=4A?*(j-j;/)'-4f a. 3-](7--^/yH-(«a-3'^^)'=o.
Les équations (L\,,) deviennent
la , =/', — 4(j - x/y + 2(a, ±ar3) = o, et l'on a par l'élimination
La seconde équation comprend la première et n'a pas plus de généralité : car, si l'on égale à zéro le facteur jr — x/^ on en tire une valeur de^' qui ne satisfait pas à l'équation proposée du second ordre.
483. Le théorème du n** 48 1 s'applique sans difficulté aux intégrales singulières des équations d'un ordre quelœnque. Admettons que la proposée soit du second ordre et représentée par l'équation (/), en sorte qu'elle ait pour l'une de ses intégrales du premier ordre
rx(^,7y,«,) = o: (L,)
en chassant a au moyen de l'équation
qui donne
on a l'équation du second ordre
F.(a:,7,/,'C^) = o, {xà)
identique avec la proposée (/), ou qui n'en diffère que par la présence d'un facteur commun, fonction de x,j, y\y" . D'un autre côté, en chassant a, de réquation (L,)
par sa valeur tirée de -7—2=0, on a l'intégrale singulière.
Or, si l'on différentie l'équation (xiJ), eii supprimant les termes qui disparaissent en vertu de l'équation (L',), ii vient
Atkdi'^ 1^^ '^ly^ '^^^ J~^'
et la démonstration s'achève comme dans le u"" cité. On en conclut de même que la valeur de^' en Xjjy tirée de l'intégrale singulière, laquelle donne pour y une valeur qui vérifie la proposée, ne donne pas pour/'', y^tf y ^^^' ^^* valeurs propres à vérifier les dérivées successives de la proposée.
En prenant pour y=o, F,=:o, les équations (9) et
(10), on a trf=p, d'
Fx(^,r,/,tS) = ;r» — -"^ + ±- = o, (11)
équation qui se confondrait avec (9), si Ton en multipliait tous les tennes par '^. La différentiation de l'équation (11) donne
y xyy" X x^y
OU bien
La valeur de y" tirée de l'équation
X y et substituée dans l'équation (i i), ramène l'intégrale sin-
OU
DES EQUA.TIONS INTEGRALES SINGULIISRES. 289
gulière x^ — y^=.o. D'autre part, de l'équation du troisième ordre
on tire, en intégrant, -j- =:a^ ; et cette valeur, substituée
dans l'équation (ii), reproduit l'intégrale (lo).
484. L'équation (x), qui est de l'ordre riy comporte une intégrîile générale de l'ordre n — i
et comme cette intégrale doit satisfaire, non-seulement à réquation (x), mais à toutes ses dérivées, il en résulte que les valeurs de/^"^^""'^, tirées de l'équation (^), coïncident avec celles qu'on tirerait de l'équation (x) : par conséquent l'équation (^) satisfait à la proposée (k\ aussi bien que (x).
Concevons maintenant que l'équation (x) ait une intégrale singulière
^'(•^îJi /)/">• • .J<"-*^)= o : (^)
d'après la remarque du n® précédent, on en tire pour ^""^'^ une valeur qui ne coïncide pas avec celle que fournirait la dérivée de (x) : donc l'équation {^) qui satisfait comme intégrale singulière à l'équation (x), ne satisfait pas à la proposée (Je) dont (x) est déjà une intégrale singulière.
On prouve encore la même chose par le raisonnement suivant, que nous appliquerons^ pour plus de clarté, à l'équation du second ordre
Son intégrale singulière du premier ordre
résulte, comme on l'a dit, de l'élimination de a„a, entre T. n. 19
290 LIVRE Vr. CHAPITRE IV.
les équations (L), (f) et (f ,„)• Soit ^ (x,y)=o une intégrale singulière de (>.) : nous disons que cette intégrale ne diffère pas de Féquation qu'on obtiendrait en éliminant at,<2,, entre l'équation (L) et ses dérivées
£n effet, Féquation ainsi obtenue satisfait au système des équations (L), (L'), (f 'i,>X ^^ P*** conséquent vérifie 1 féquation (>.) dont elle est l'intégrale singulière, attendu qu'elle ne contient pas de constante arbitraire.
Maintenant on sait que, pour obtenir l'équation (/), il faut éliminer a,, a, entre l'équation (L) et ses dérivées du premier et du second ordre, prises en traitant a„â, comme des constantes^ savoir
Quand a., a, ne sont plus des constantes^ mais des fonctions de x^j, déterminées par les équations ((L)), l'équation (L') est encore satisfaite ; mais l'équation (L") ne l'est plus , et par suite l'équation (/) ne peut pas l'être. 485. Prenons comme exemple l'équation
y—xy—{y—^yj+-^ — /"=o, (12)
qui a pour intégrale seconde
7 — ï «.a;'— a^ —- {a\ + aj) = o, (i3}
pour intégrales du premier ordre
DES EQU/LTIONS INTEGRALES SINGULIÈRES. 291
et pour intégrale singulière du même ordre
En résolvant cette dernière équation par rapport à j^, on la met sous la forme
d'où, en intégrant,
»^i6r + Ax*+a^ =X\/t + jt» — log(V/'i4-a:> — ^) + C. (16)
L'équation (16) satisfait à la proposée (ta); mais comme elle ne contient qu'une constante arbitraire c^ et qu elle ne peut pas rentrer dans l'intégrale générale (1 3) par un choix convenable des constantes a^^a^^ elle constitue encore une intégrale singulière de la proposée.
L'équation (i4j comporte elle-même une intégrale singulière, qu'on trouverait en faisant usage des méthodes indiquées ci-dessus, mais que l'on déterminera plus simplement en formant les équations ((L^), qui deviennent alors
^:ir* + aa,=o, JC+2aj=o.
Les valeurs de a„ a^ qu'on en déduit , étant reportées dans l'équation (i3), il vient
16/ + 4'^* + :p^ t=i= o ; et cette dernière équation satisfait visiblement aux équations (i4) ou (i5), mais non pas à la proposée (12). 486. L'équation {%) comprend en général les dérivées de j^-, jusqu'à jK^"^ inclusivement; mais il peut arriver aussi que ^"^ disparaisse de la fonction <p, et alors cette même équation est une intégrale singulière de la proposée , de l'ordre n — i. Elle serait une intégrale singulière de l'ordre n — q, si^**"'^ disparaissait également de la fonction 9> et ainsi de suite.
292 LIVRE VI. GHàPITRE IV.
Soit^ par exemple, l'ëquation du second ordre
{xy—i) (a?/'* — // + ^xy-yf — xjr{y + xy'^y'^ = o, qui a, pour l'une de ses intégrales complètes du premier ordre, l'équation
77'*— 2a,a;77'+aî^==o. (17)
On formera l'intégrale singulière de la proposée, en chassant a^ de Féquation (17), au moyen de sa dérivée prise par rapport à a,. Ce calcul donne
Xr'^{ayr — i)t==:o; d'où les trois solutions
qui sont trois intégrales singulières de la proposée, la première du premier ordre et les deux autres algébriques, ou de l'ordre zéro.
487. Les valeurs de ^"^ en x^y^y\, . . j?^^"~'\ qui vérifient l'équation (A"), et qui rendent infinie la dérivée
tirée de cette même équation (A*), sont des intégrales singulières de la proposée, de Tordre n^ et toutes les intégrales singulières de Tordre n doivent rendre infinie la dérivée (n). D'autres conditions sont encore exigées, si l'intégrale singulière s'abaisse accidentellement à un ordre inférieur : mais nous renverrons pour ces détails, qui sortent des éléments, aux Leçons de Lagrange sur le calcul des fonctions y et plus particulièrement encore à un mémoire de M. Poisson, inséré dans le i3* cahier du Journal de F École polytechnique.
