CHAPITRE V
APPLICATIONS GEOMETRIQUES DE LA THÉORIE DE l'iW- TEGRATION DES ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES A DEUX VARIABLES.
488. Nous traiterons dans ce chapitre de quelques questions de géométrie qui se rapportent à l'intégration des équations différentielles à deux variables; et d'abord nous nous proposerons de déterminer les lignes dont le rayon de courbure est proportionnel à la rwr^ mole [172J9 condition qui s'exprime par l'équation différentielle du second ordre
OU
k désignant un rapport constant, et les signes supérieur ou inférieur devant être choisis selon que le rayon de courbure doit être dirigé dans le sens de la normale ou eu sens contraire.
L'équation {a) est de celles oîi la variable indépendante n'entre pas [45i ] : elle se met sous la forme
d» % ou
dy kydjr'
et en intégrant deux fois de suite.
"fj
La quadrature indiquée s'obtient sous forme finie pour les deux valeurs A^i=i, /c=a. Soit en premier lieu k=i : on a, en prenant le signe supérieur,
équation d'un cercle de rayon arbitraire, et qui a son centre sur l'axe des x. 11 est évident en effet que, pour un cercle ainsi placé, la normale se confond en grandeur et en direction avec le rayon de courbure. Le signe inférieur donne
d'où
équation de la chaînette [384]*
Lorsqu'on fait A=a, et qu'on prend le signe supérieur, l'équation (è) donne
équation d'une cycloïde qui a l'axe des x pour base et dont le cercle générateur a pour rayon f b. On sait effectivement [198] que, pour la cycloïde ainsi placée Je rayon de courbure est double de la normale et dirigé dans le même sens.
Quand on prend le signe inférieur, il vient
J Vj'—b
équation d'une parabole dont Taxe serait perpendiculaire à celui des x^ et qui aurait sou sommet au point x=a^
489. Si le rayon de courbure^ dans la courbe cherchée, devait être réciproque à Tabscisse, on aurait pour l'équation du problème
(i+y")l h , hdy'
et en intégrant
Nous pouvons désigner la constante c par — è*, la constante k par — ^ ce qui rend l'expression homogène ^ et
enfin permuter entre elles les lettres x^j'^ au moyen de quoi l'équation précédente devient identique avec la première équation (12) du n** 387. La courbe qui jouit de la propriété énoncée est donc celle à laquelle nous avons donné dans le n"* cité le nom de courbe élastique, précisément à cause de la propriété qui vient d'être traduite en équation.
490. Cherchons une courbe telle que le produit des perpendiculaires abaissées de deux points donnés sur chaque tangente à cette courbe soit constant. Prenons pour axe des a: la droite qui joint les points donnés^ et pour origine le milieu de la distance qui les sépare. Appelons iic cette distance et b^ le produit des deux perpendiculaires : l'énoncé du problème donne l'équation différentielle
et it faudra prendre le signe supérieur ou le signe inférieur, selon que les deux points d'où partent les perpendiculaires seront ou ne seront pas situés du même côté de la tangente. Cette équation se ramène à la forme
et l'on a
£n la différentiant selon la méthode indiquée [44^] pour le traitement des équations de cette forme, on trouve
d'où
Si l'on élimine^' entre les équations (c) et (c',), on aura l'intégrale singulière de la première de ces équations. Pour faire l'élimination commodément^ on les met sous la forme
d'où l'on tire, en éliminant le radical et en élevant au carré ,
L'équation (i) donne aussi, quand on élève au carré les deux membres,
et si l'on égale ces deux valeurs de y, il vient, après la suppression des facteurs communs,
APPLICATIONS GJÎOMlêTBIQUES. 297
Suivant qu'on prend les signes supérieur ou inférieur, cette équation appartient à une ellipse ou à une hyperbole dont les foyers sont les deux points d'où partent les perpendiculaires aux tangentes : %b est le petit axe de Tellipse et Taxe non transverse de l'hyperbole.
L'intégrale générale de la proposée s'obtient quand on substitue dans cette équation la valeur y-=-const,y donnée par l'équation (c',). Cette intégrale générale est l'équation du système des droites tangentes à l'ellipse ou à l'hyperbole que l'on vient de déterminer. Il est clair que ces droites satisfont, dans la généralité mathématique, à la condition du problème; mais que la seule solution qu'on ait pu avoir en vue en l'énonçant, est fournie par l'intégrale singulière. La même remarque s'applique à tout problème géométrique qui conduit à déterminer une courbe par une équation différentielle de la forme (4^).
49 i. Une équation différentielle de la forme
exprime une relation entre la normale et la distance de l'origine au point où la normale rencontre l'axe des abscisses. Par la différentiation il vient
d'où les deux solutions On tire de la première
298 LIVKE VI. CHAPITRE V.
a désignant une constante arbitraire ; et la valeur de/ qui Ven déduit, substituée dans la proposée, donne Tintégrale générale
qui est l'équation d'une série de cercles, ayant leurs centres sur l'axe des x^ et dont les rayons ont avec les distances des centres à l'origine des coordonnées la re» lation indiquée par le signe /! Il est clair que l'enveloppe de ces cercles satisfait à la question géométrique qui consiste à déterminer une courbe au moyen de la relation exprimée par la proposée. L'équation de l'enveloppe est précisément l'intégrale singulière qui résulte de l'élimination de/' entre les équations («Q, (^'a)> ou, ce qui revient au même, à cause de l'équation (a), l'équation résultant de l'élimination de a entre l'équation (3) et sa dérivée par rapport à a
492. Les coordonnées Ç, n du centre de courbure d'une courbe plane étant données [190] par les formules
si l'on assigne l'équation de la développée
9($,Yi)==o, ou >ï=fÇ, (f)
les coordonnées x^j- de ses développantes devront satisfaire à l'équation différentielle du second ordre
Pour intégrer cette équation, on la différentie d'abord par rapport à la variable indépendante x^ et l'on voit que l'équation dérivée peut prendre la forme
de sorte qu'elle se décompose en deux autres L.a première a pour intégrale
b désignant une constante arbitraire; et par conséquent, d'après l'équation (a), l'on a aussi
pourvu que la nouvelle constante a soit liée à b par la
relation
è = fa. (d)
Les équations (b) et (c) donnent
d'où, par une nouvelle intégration,
{x—ay + {y — by=^c^. (e)
Cette dernière équation qui renferme deux constantes arbitraires a, c, et une troisième constante b^ liée à a en vertu de l'équation (d), est donc l'intégrale complète de l'équation (a). Cette intégrale complète représente évidemment l'un quelconque des cercles osculateurs de l'une quelconque des développantes de la courbe proposée (f), ou plutôt le système de 'tous ces cerclés osculateurs.
Si maintenant on élimine la quantité ^ entre les
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équations (a) et (a,), ce qui est censé possible quand la fonction f est donnée, on a une équation en x^y^j qui est une intégrale première singulière de l'équation (a). Par une intégration subséquente on introduit une constante arbitraire A, et l'on a en x^y^h l'équation des développantes de la courbe proposée, laquelle ne doit en effet contenir qu'une seule constante arbitraire, puisque chaque développante est déterminée dans son tracé quand on a assigné arbitrairement la longueur de son rayon de courbure, pour un point de cette développante correspondant à un point donné sur la développée. Chaque développante est la ligne de contact d'une série de cercles comprise dans l'étendue de l'intégrale générale (e), et même elle a avec chacun des cercles de cette série un contact du second ordre.
Le calcul de l'équation de la développante se ramène à une simple quadrature au moyen des formules
(^— a;y7) — (ti — jy$ =z o,
dans lesquelles p désigne le rayon de courbure de la développante, et dont les deux premières ont été établies au n° 191, la troisième résultant évidemment de ce que le rayon de courbure de la développante est tangent à la développée. On en tire
p = A+/i/7TFIF-^>
71 — r ou fÇ — r = û-y-:^i: J "^^ >L — ^J— .
Quand la fonction f est particularisée, et que la quadrature indiquée dans l'expression de p est effectuée,
APPLICATIONS GEOMETRIQUES. 301
il suffit d'éliminer ^ entre ces deux dernières équations pour avoir en x^j^h l'équation des développantes. En d'autres termes, la détermination de l'équation des développantes dépend uniquement de la rectification de la développée, comme cela doit être d'après la propriété caractéristique des développées.
493. Il résulte du n** 284 que le système des projections des lignes de courbure d'une surface sur l'un des plans coordonnés s'obtient par l'intégration d'une équation différentielle {i) commune à toutes ces projections. Si l'on prend pour exemple l'ellipsoïde à trois axes
inégaux
réquation différentielle des projections des lignes de courbure sur le plan xy est
kxyy^'^ + {o^ — A/^ — B)j' — ojzzro, {e)
où l'on a fait pour abréger
On diflférentîe l'équation (^), et il vient après réduction
(aA^rjy + ar* — A/' — 8)7" + (A7"+ i) {xy' — y)=L o.
Si l'on remplace le polynôme .r* — ky^ — B par sa valeur tirée de (^), l'équation précédente prend la forme
(^ ^ f ) [«^j/'+rW —7)] == o,
d oïl les deux solutions
^yy" + /(^j' —y) == o , {e^
Occupons-nous d'abord de la première qui donne
et en intégrant deux fois de suite,
j* = flw:* + p. (5)
On aurait pu se dispenser de la seconde intégration et éliminer^' entre les équations [è) et (4), conforméraent à la méthode que nous avons suivie dans d'autres cas. Il vient par ce calcul
Aar^a^H- (jt* — Aj' — B)a— /* = o; (6)
et en comparant le résultat à l'équation (5) on en conclut
__Ba^ a»^'(a' — »)«
^~ Aa + I d^iy — (^y + b\à^ — c") ' ^^■
mais, pour simplifier, on peut retenir la constante p. Soit (XoîJToy-So) uii point de l'ellipsoïde par lequel doit passer une ligne de courbure déterminée : l'équation (6) donne
Admettons maintenant qu'on ait
a>b>Cy ce qui rend positives les constantes A,B : les deux valeurs de a données par l'équation (8) seront réelles et de signes contraires; à la valeur positive de % correspondra une valeur négative de p en vertu de l'équation (7); enfin à la valeur négative de a correspondra une valeur positive de p, car on a
=^ + Ajî + B— l/(a:;+Ar2-+-B)>— 4BX2 } (9)
en sorte que le dénominateur Aa-(-i qui entre dans l'ex-
APPLICATIONS GÉOMJÉTRIQUES. 303
pression de p, reste positif pour les valeurs négatives de CL, On conclut de là que les projections en xj des deux lignes de courbure qui se coupent à angles droits sur l'ellipsoïde au point (a:o,7*o9 ^o), sont une ellipse et une hyperbole rapportées au même centre et aux mêmes axes : l'axe transverse de l'hyperbole se confondant avec celui des x. £n vertu de cette remarque, si l'on pose
-= — Ç%pi=± 7î% les quantités. 5,71 sont toujours
réelles : la double série des projections des lignes de courbure coïncide avec la double série des ellipses et des hyperboles données par l'équation
et les lignes $, n, ou les demi-axes de ces courbes, se trouvent liées par l'équation (7) qui devient
et qu'on peut construire au moyen d'une hyperbole et d'une ellipse.
