Considérons en premier lieu l'hyperbole auxiliaire

dont la construction détermine la série des lignes de courbure à projections elliptiques, comprises dans l'équation

V peut croître depuis la valeur

jusqu'à l'infini, et les valeurs correspondantes de v)* sont

o, 00 . D'après l'hypothèse sur l'ordre de grandeur des lignes a,ô,c, on a toujours n* < $*, et toutes les projections elliptiques ont leur grand axe dirigé suivant les x {Jig' 97). L'ellipse se change en ligne droite et se confond avec l'axe même des x, lorsqu'on prend yi*z=o. Elle se confond avec la section de l'ellipsoïde par le plan xj^ lorsqu'on fait Yi*=è*, d'où Ç*=a'. Pour de plus grandes valeurs de vi* les ellipses données par l'équation (y^), quoique toujours réelles, sont étrangères aux lignes de courbure de l'ellipsoïde.

Considérons à son tour l'ellipse auxiliaire

dont la construction détermine la série des lignes de courbure à projections hyperboliques

Ç* peut croître depuis zéro jusqu'à la valeur (^), tandis que TQ* décroît depuis la valeur

jusqu'à zéro» L'hyperbole [f^ se confond à la première limite avec l'axe des ^ et à la seconde avec l'axe des X.

Il résulte de cette double construction^ que toutes les lignes de projection, elliptiques et hyperboliques, tournent leur concavité vers les deux points situés sur Taxe des Xj qui ont pour abscisses

et qui sont les projections sur le plan xy des quatre ombilics de l'ellipsoïde [a83].

Nous aurions encore à discuter les solutions données par réquation (e^); mais comme le coefficient A est positif, par suite de l'hypothèse, le facteur A;r'*-|-i, égalé à zéro, ne saurait donner de solution réelle; et

l'équation -7= o, combinée avec (^), reproduit la solu-

tion déjà obtenue x=o.

495. Si Ton avait supposé a<b<c, les coefficients A,B seraient toujours restés positifs, et rien n'aurait été changé à la discussion qui précède, si ce n'est qu'on aurait trouvé les grands axes des projections elliptiques dirigés suivant \esjr.

Il ne s'agit donc plus que de construire les projections des lignes de courbure sur le plan qui comprend le plus grand et le plus petit axe de l'ellipsoïde, et qui devient celui des x/ dans l'hypothèse

Le coefficient B reste positif; mais comme le coefficient A devient négatif, il résulte de l'équation (8) que les deux valeurs de la constante a sont toujours de même signe. Nous disons de plus qu'elles sont toutes deux négatives, ce qui suppose l'inégalité

Ao— Ajî— B<o,

ou, par la substitution des valeurs de A, B,

Mais, de ce que le point {Xo'tjoj^^ appartient à la surface de l'ellipsoïde , il résulte

(le signe < n'excluant pas le cas d'égalité) ; et si cette

inégalité est satisfaite, la précédente l'est à fortiori y car

T. II. ao

306 LIVRK VI. — CHAPITRE V.

les Vapports

sont plus petits que l'unité, par suite de l'hypothèse sur Tordre de grandeur des lignes a^b^c. De plus, en vertu de l'équation (7) et des signes de A,B,a, la constante P est toujours positive.

En conséquence, on peut poser -= — ^%ft = Yi'; de

sorte que la double série des lignes de courbure se confond avec la série des ellipses qu'on obtient en faisant varier dans l'équation

les paramètres $,7i qui sont eux-mêmes les coordonnées d'une ellipse auxiliaire

Le paramètre Ç' varie entre les limites

tandis que rî^ varie entre les limites

bHa'—b')

Quand on prend $*=:o, l'ellipse (/^ ) se confond avec l'axe des /, et elle est allongée dans le sens des j

tant qu'on a Ç^<— 7-. Elle devient un cercle lors-

que ^^ atteint cette valeur, puis s'allonge dans le sens des jc pour des valeurs croissantes de $*; se confond avec la section de l'ellipsoïde par le plan xjy quand on a $*=a*; s'allonge de plus en plus, et finalement se confond avec l'axe des x quand ^^ atteint sa limite supérieure, ou lorsque yi* s'évanouit {/îg. 98).

Il reste à considérer la solution singulière donnée par

l'équation

solution réelle à cause du signe négatif de A. La valeur de^' qui s'en déduit, étant substituée dans (e), donne b\a' — c*)x* ± lai v/(fl»— c»)(c> — *=•) . xy + a\c^ — h^)f

et cette dernière équation se décompose dans les deux suivantes

b[/a^ — c2,xdzai/c* — ^.^*=>— aAu^«» — ^a, qui sont les équations de quatre droites passant par les sommets de l'ellipse auxiliaire (lo). D'après la théorie des intégrales singulières, ces quatre droites doivent toucher toutes les ellipses données par l'équation (y^), comme on peut le vérifier en ayant égard à l'équation (lo) qui ne laisse arbitraire qu'un des paramètres $,r,.

La section de l'ellipsoïde par le plan ary^ étant l'une des lignes de courbure, touche les quatre droites qui viennent d'être déterminées, en quatre points o^o\o" ^c!'\ qui sont précisément les ombilics de la surface. Car on trouve pour les abscisses de ces points

et dans cette formule, b désigne le plus petit axe de l'ellipsoïde, c l'axe moyen, en sorte qu'elle se confondrait avec la formule [fi) si l'on désignait par h l'axe moyen et par c le petit axe, ce que ces lettres représentent en effet dans l'équation (A).

La solution — =:o ne ferait que reproduire les solu-

tions particulières xzzro, yz=:io,

ao.

L'élégante construction des lignes de courbure de rellipsoïde a été donnée par Monge, et M. Leroy y a apporté un perfectionnement en tenant compte du facteur Ay'*-j-i pour obtenir directement la solution singulière, ce tjui rentre au surplus dans la théorie générale.

496. Nous avons dit [a 7 7], et l'on pourrait admettre comme évident que la sphère est Tunique surface qui ait en tous ses points ses deux rayons de courbure égaux et dirigés dans le même sens. Afin de ne rien laisser d'essentiel à désirer dans cette partie importante de la théorie des surfaces, nous placerons ici la démonstration de la proposition que l'on vient de rappeler.

Les deux équations aux différences partielles qui doivent être satisfaites en tous les points de la surface dont il s'agit, sont [28a]

{i+q^)s — pqt=^o, (i +p^)s — /?yr = o; et elles peuvent être écrites sous la forme

dy ^ dx '

Dans l'intégration, il faut remplacer la constante arbitraire par une fonction arbitraire de la variable indépendante , autre que celle relativement à laquelle l'intégration s'opère, et ainsi l'on a

d'où

<fx ^r

- (fx.dx + ify.dy

Mais l'équation de toute surface doit satisfaire à la condition d'intégrabilité

APPLICATIONS GKOMÊTRIQCKS. 309

el cette dernière équation doit se vérifier identiquement, c'est-à-dire indépendamraent des valeurs de x^ y. Par conséquent , il faut qu'on ait

y désignant une constante arbitraire. De là on tire en intégrant

i/k^ — (x — a)» — (^ — by

et en intégrant de nouveau

équation d'une sphère dont le rayon et les coordonnées du centre sont arbitraires.

497. On sait [iîi6] que les projections en :r^ des lignes de niifeau et des lignes de plus grande pente dune surface ont respectivement pour équations différentielles

Cela posé^ si une famille de surfaces est caractérisée par une équation aux différences partielles de la forme

/(•^ir,^j=o, on a/(j:,7,y) = o, pour Téquation

différentielle des lignes de plus grande pente, commune à toutes les surfaces de cette famille.

Par exemple, les surfaces de révolution autour de laxe des z étant caractérisées [2 54] par l'équation aux différences partielles /7j)^=^x, l'équation des lignes de

plus grande pente est xy-==y^ d'où j^^=iic.r, c désignant une constante arbitraire; et en effet les lignes de plus grande pente se confondent avec les méridiens de la surface qui se projettent en xjr suivant des lignes droites passant par l'origine.

De même les surfaces conoïdes droites [a 53], dont l'équation aux différences partielles est px=i — qy^ ont, pour l'équation différentielle des projections de leurs lignes de plus grande pente, jr/'^ — Xj d'où x^^y^=c^\ c'est-à-dire que les lignes de plus grande pente, pour toutes les surfaces de cette famille^ se projettent suivant des cercles dont le centre est à l'origine des coordonnées: comme on le conclut de ce que toutes les lignes de niveau sont des droites passant par l'axe des z.