Les lignes de niveau de l'ellipsoïde

se projettent en xj suivant les ellipses concentriques et semblables données par l'équation

le paramètre k pouvant varier entre zéro et l'unité. L'équation différentielle des projections des lignes de plus grande pente prend la forme

a^dx b^dy

d'où , en désignant par y une constante arbitraire,

Quand les axes a, b sont commensurables, les lignes de plus grande pente deviennent des courbes algébriques; sinon, ce sont des courbes transcendantes.

Soit {x^^y\^ z^ un point de l'ellipsoïde par lequel on

APPLICATIONS GÉOMÉTUIQUES. 311

veut faire passer la ligne de plus grande pente : l'équation (k) devient

et quelles que soient les valeurs rationnelles ou irrationnelles assignées aux exposants a^^ b^j la courbe a un cours continu pour toutes les valeurs de x^y qui sont respectivement de mêmes signes que x^^ y^. En d'autres termes, si nous imaginons l'ellipsoïde partagé en (|uatre régions symétriques par les plans rectangulaires des xz et des ^2, la courbe n'éprouve, aucune solution de continuité tant qu'elle ne sort pas de la région à laquelle appartient le point {x^^j^^z^. Elle vient toucher au sommet de l'ellipsoïde le plan des xz ou celui des jz , selon qu'on a «*> ou <é'; et elle s'y raccorde avec toute autre ligne de plus grande pente, construite arbitrairement dans l'une des trois autres régions de l'ellipsoïde, ou même dans celle où se trouve déjà le point

Dans le cas particulier de la commensurabilité des nombres «% ^% on peut, pour plus de simplicité, les remplacer par des nombres proportionnels w, /?, entiers et premiers entre eux, ce qui revient à multiplier par un facteur constant les équations (^;'),(^*'). Alors la ligne de niveau, devenue algébrique, ne peut, en tant que courbe algébrique, s'arrêter au sommet de l'ellipsoïde , et elle ne forme algébriquement qu'une seule et même courbe avec une autre ligne de plus grande pente, de manière que la projection sur le plan xy de la courbe complète offre l'une des dispositions indiquées par les fig. 99, 100 et loi. Si l'on suppose, ce qui n'ôte rien à la géné^ ralité de la construction, m> n^ ou ii^yfP^ Vdfig, 99

312 LIVRE VI. GHAPIXJIJS V.

correspond au cas de m impair et n pair, ^'^fig- loo au cas de m pair et n impair, \^fig. loi au cas de m et /i tous deux impairs. Or, il est bien évident que la commensurabilité des nombres a^, b^ ou m^ n^ la propriété arithmétique des nombres m^n^ d'être pairs ou impairs, ne changent rien aux conditions géométriques du problème qui consiste à tracer sur un eUipsoïde des lignes de plus grande pente, ou sur un plan des courbes perpendiculaires à une suite d'ellipses concentriques et semblables. Il n'y aurait aucune raison géométrique du changement brusque de forme qu'éprouveraient les lignes de plus grande pente ou leurs projections, en subissant par exemple au sommet de l'ellipsoïde ou à l'origine des coordonnées, une inflexion au lieu d'un rebroussement, et cela en vertu d'une variation aussi petite qu'on le

voudrait dans le rapport — , qui est celui des carrés de

deux demi-axes de l'ellipsoïde. Il faut donc reconnaître que la liaison deux à deux des lignes de courbure partant du sommet, dans le cas de la commensurabilité du

rapport —, est un fait de pure algèbre, une conséquence

de la règle des signes , dont la nature du problème ne rend pas raison, et qui ne correspond à aucun fait géométrique.

Ces observations étaient essentielles pour compléter ce que nous avons dit jusqu'ici, et notamment dans le cbap. lY du quatrième livre, sur la nature des connexions entre la géométrie et l'algèbre.

499. La pente de la surface au point {x^j^z)esX mesurée [i 26] par le radical J/^T^I^, qui devient pour l'ellipsoïde

Sur une même ligne de niveau le maximum et le mini^ mum de pente correspondent donc au maximum et au mimmum, de la fonction

or» r* l + Ti'

qui dévient, en vertu de l'équation (i\

Supposons, pour fixer les idées, a>b\ le maximum de la fonction correspondra à a:=o, et le minimum à 3c=u ouà/i=o. Ainsi la section de Tellipsoïde par le plan qui comprend Taxe vertical et le plus petit des deux axes horizontaux, est la ligne de plus grande pente sur laquelle, pour la même hauteur verticale , la pente est la plus graude; ou, dans le langage des géomètres, cette ligne correspond à un maximum muximorum. Au contraire, la section de Tellipsoïde par le plan qui comprend avec l'axe vertical le plus grand des axes horizontaux, est la ligne de moindre pente y parmi les lignes de plus grande pente , et elle correspond à un minimum maxi-nmrum.

'500. Les lignes de plus grande pente sont celles que uécrirait sur la surface à laquelle elles appartiennent un filet liquide, cédant à l'action de la pesanteur. L'ensemble des lignes de plus grande pente que l'on peut concevoir tracées à la surface du sol, détermine le système orographique et hydrographique d'une contrée. Le voyageur qui remonte une vallée, côtoie une ligne de plus grande pente, occupée d'ordinaire par le lit d'un cours d'eau, et qu'on désigne sous le nom allemand de thalweg. A

sa droite et à sa gauche, les ravinements des collines dessinent d'autres lignes de plus grande pente, dont le thalweg, dans Thypothèse idéale d'une parfaite continuité de formes, serait la ligne de contact ou l'asymptote. Les croupes des collines ou des montagnes se terminent à la ligne de faite^ ou ligne de partage des eaux, qui serait aussi , dans les mêmes circonstances, la ligne de contact ou l'asymptote des lignes de courbure ordinaire. Par rapport à celles-ci, les lignes de faîte et de thalweg sont encore des lignes de moindre pente^ dans le sens qui vient d'être expliqué. Enfin les lignes de faîte et de thalweg vont se couper à angles droits, en tournant leurs courbures dans des sens opposés, en des points que l'on nomme cols^ qui sont ceux où l'on dirige le tracé des routes et des canaux pour franchir la ligue de faîte, et qui correspondent à des minima relatifs de l'ordonnée verticale de la surface.

Tel est le type géométrique auquel on peut rapporter la configuration des vallées dites diérosion^ c'est-à-dire de celles qui ont été creusées par des actions lentes et continues : mais en général les grandes inégalités de la. surface du sol ont été le produit d'actions convulsives et de dislocations dont les traces ne sont point effacées, malgré l'influence prolongée des agents atmosphériques qui tendent sans cesse à combler les failles et à adoucir l'aspérité des contours. Il en résulte des solutions de continuité dans les valeurs des coefficients /? et ^ : le plan tangent et la normale passant brusquement d'une direction à une autre. Alors les lignes de faîte et de thalweg sont remplacées par des arêtes que les lignes de plus grande pente ordinaires rencontrent sous des angles finis.

ÂPPLICA.TIONS G3ÊOMÉTBIQUES. 315

501. La détermination des projections des lignes de plus grande pente rentre, comme cas particulier, dans un problème qui a acquis de la célébrité, sous le nom de problème des trajectoires ^ à l'époque où les Bernoulli , mettant en œuvre les idées de Leibnitz, donnaient au calcul intégral ses premiers développements.

On a appelé trajectoire^ dans un sens purement géométrique, la courbe qui coupe sous un angle constant toutes les lignes que représente l'équation

quand on y fait varier sans discontinuité le paramètre a. Si l'angle d'intersection est droit, les deux systèmes de courbes orthogonales peuvent être pris pour les systèmes des projections sur le plan xj des lignes de niveau et des lignes de plus grande pente d'une surface.

Soit en général a la tangente de l'angle d'incidence des trajectoires, $,yi les coordonnées courantes d'une trajectoire, parallèlement aux ^ et auxj^* : on aura au point d'intersection,

dy dF dF /"dn df\\ f ^ dn df

dx •

dF dF f^ ^r\ ( f^ ^^

^- ^' '^—\dl~dœ) • V"*"^'^/

(dF dF dy\\ dF dfi dF .

^Kd^~di 'dïJ — dx^dl'^ dx' ^"^^

Au point d'intersection on a x=:^jjr=yi^ en sorte que Téquation précédente ne contient de variables que Ç, yi,

^, et le paramètre a. Après qu'on a chassé ce paramètre au moyen de l'équation F(^,rj,r/)=:o, l'équation [m) est l'équation différentielle des trajectoires.

Prenons pour l'équation des courbes coupéesy=a2f: l'équation difTérentieile des trajectoires sera d'après ce calcul

a( nl + mn ^^ )+ m-ti — ni -ïf='«; W

et comme elle est homogène, on pourra la traiter par la méthode du n** 439* Dans l'hypothèse /w=/i=i, le système des lignes coupées étant un système de droites qui passent par l'origine, l'équation (m') devient

d'où l'on tire, en divisant par Ç*-|-^* et en intégrant,

a log . V/fnjT^ — arc tang v^=c.

Si l'on fait

Ç=3rcosç, V) = rsin9, c"==A,

l'intégrale prend la forme

et elle est l'équation d'une spirale logarithmique [i8i], courbe qui a en effet pour caractère de couper sous un angle constant les droites menées par le pôle.

Pour avoir les trajectoires orthogonales^ il faut poser a=ço y ce qui réduit l'équation (m') à nldl-^mrficbi=o. L'intégrale /zÇ*-J-/7zyi*=zc appartient à une série d'ellipses ou d'hyperboles concentriques et semblables , selon que les exposants m^n sont de mêmes signes ou de signes contraires , c'est-à-dire suivant que les courbes coupées sont du genre des paraboles ou des hyperboles.

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