SIMULTANÉES

502. Considérons, comme dans le n** i65, un système de V équations entre la variable indépendante t^ les V variables x,jk,2, . . . qui dépendent de /, et leurs dérivées 'V'j/^z\. . ,x"y\z" . . .etc. : le problème de l'intégration des équations différentielles simultanées consiste à tirer d'équations qui se présentent sous cette forme les valeurs de x,/,2. . . ., en fonction de t, en donnant à ces valeurs toute la généralité qu'elles comportent, par l'introduction d'un nombre convenable de constantes arbitraires. Pour fixer les idées sur une application, imaginons des points matériels en mouvement dans l'espace, et qui exercent les uns sur les autres des actions attractives ou répulsives, variables avec leurs distances mutuelles; désignons par t le temps; par t,j,z; a:,,^„z,, etc., les coordonnées des points mobiles : les variations infinitésimales des vitesses dépendront des forces auxquelles les points matériels sont soumis , et par conséquent des coordonnées en fonction desquelles s expriment leurs distances mutuelles; les vitesses mêmes s'exprimeront par les variations infinitésimales des coordonnées; et sans qu'il soit besoin d'entrer dans des développements qui appartiennent à la mécanique, on conçoit que toutes ces liaisons doivent conduire à des équations où entrent à la fois les coordonnées des points

mobiles et leurs coefficients différentiels, pris par rapport au temps. Il s'agit d'en tirer les valeurs des coordonnées en fonction du temps , puis d'éliminer la variable t^ de manière à avoir des équations entre Xyjr^z\ .r,, jKi, 2x, etc., qui sont celles des courbes décrites dans l'espace par les points mobiles. La plus belle question de la philosophie naturelle, la théorie des mouvements planétaires, se trouve ainsi ramenée à un problème d'intégration qui porte sur des équations différentielles simultanées.

503. De quelque manière que l'on obtienne le système des équations intégrales, ou le système des équations en t^x^y^ 2, etc., qui satisfait aux équations différentielles proposées, ce système, pour avoir le même degré de généralité que le système proposé, doit contenir un nombre déterminé de constantes arbitraires, nombre qu'on assignera sans difficulté, dans chaque cas particulier, par des considérations analogues à celles qui ont été présentées au n"* 4^5.

Prenons deux équations

f{t',x,x\ ....^cm);^,y, ..../«>) = o, (/;

f,{t',x,x\ ^('"^^;j,/, jK)) = o; (/,;

et examinons en premier lieu le cas où Ton aurait m>m^^ n<n^. Si, pour une valeur de t que nous désignerons par 4, on se donne arbitrairement les valeurs correspondantes

x^, <,.... •^o^'"-'>; jo,/o, .... 7o<"'-^> , [0)

on tirera de l'équation ( /) la valeur de ^«^"^ de le- <juation ( /[) la valeur de jKo^'''^ et de leurs dérivées successives les valeurs de

.270^'"+'),^;^'"+*), etc.; jo^">+'), 70^"'+*) , etc. On pourra donc construire, par la série de Taylor, les