ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SIMULTANÉES

valeurs de .r, >' en fonction de tj qui contiendront les constantes arbitraires (o), en nombre m 4- /i,. Donc, sous quelque forme qu'on obtienne les deux équations intégrales par lesquelles sont déterminées les valeurs de x^f eu fonction de t^ il est essentiel que ce système d'intégrales renferme m +/i, constantes arbitraires, telles que le système des quantités (p) puisse se déduire des valeurs de ces constantes, et réciproquement.

Le raisonnement serait encore le même si l'on avait à la fois /72=:mx, /^=^^,, ou si l'une seulement de ces égalités subsistait.

Mais si l'on avait à la fois m>m^^ n>n^^\e calcul ne pourrait plus se faire de la même manière. Admettons, pour fixer les idées, que l'on ait

m+n^ > m^-{-ny ou m — /w, > n — n^ : '

on différentiera Ai'^ — /ï, fois l'équation (/^), ce qui donnera :

Au moyen des valeurs initiales (o\ en nombre m -^ n^j on déterminera par les équations (/), (/) et (f/) les valeurs de

ensuite, les dérivées successives de l'équation (/*) et de la dernière équation {J'\) détermineront de proche en proche les valeurs de

or^C^+O, a:^('»+»), etc. ; 7o^''■*■*^ /«^""^"^ etc. ;

et l'on pourra construire les valeurs générales de .r,/' par la série de Taylor, comme précédemment. Donc , dans tous les cas , le système des intégrales complètes

des équations (/^, (/[) doit renfermer m-hn^ constantes arbitraires : m-hn^ étant le plus grand des nombres

504. Nous savons [i65] qu'il est toujours possible de tirer d'un système d'équations différentielles, en même nombre que les fonctions Xj jj Zj etc. , de la variable indépendante ty une équation finale qui ne contiennne que t, X et les dérivées de x par rapport à /. Ainsi le, problème de l'intégration d'un système d'équations différentielles simultanées peut toujours se ramener à l'intégration d'équations différentielles ordinaires, entre deux variables. Ordinairement il suffit d'intégrer l'équation différentielle finale entre t et x i les valeurs des autres variables j^, 2, etc., en fonction de t sont données par de simples éliminations algébriques ; et dans ce cas le nombre des constantes arbitraires qui doivent entrer dans les intégrales complètes du système proposé, marque l'ordre de l'équation finale en t et x. Mais il peut arriver aussi que^',y ... s'en aillent avec/, dans le calcul d'élimination qui conduit à réquation finale, dont l'ordre se trouve en conséquence abaissé. Après l'intégration de celle-ci, on a à intégrer, pour déterminer la valeur de / en tj une équation de la forme

Les constantes arbitraires, amenées par cette nouvelle intégration , complètent le nombre des constantes qui doivent figurer dans les intégrales générales du système proposé. Une discussion plus minutieuse des différents cas possibles compliquerait l'exposition de cette théorie, sans utilité réelle.

505. On peut, dans certaines circonstances, sans avoir besoin de former l'équation finale, intégrer conjointement des équations différentielles simultanées. Ix^rsqu on

EQUATIONS DlFFÈBEHniEUJSS SIMULTANÉES. 321

a, par exemple, entre trois variables x^j- / deux équations linéaires du premier ordre, il est toujours possible de les mettre sous la forme

Pi Qi V, P„ Q„ V, désignant des fonctions de la variable indépendante t. Multiplions la seconde équation par un facteur \ fonction de la même variable t^ et faisons l'ad-» dition membre à membre avec la première équation : il viendra

a:' + x/-*-(P+^P.)^ + (Q+>Q,)-r=v+xv..

Posons M=j:-h^jr, u désignant une autre variable auxiliaire: nous aurons x' •\'\y'-=Liji — /X', eten substituant,

ii'+ (P+XPO«— j^ [X'+X(P+XP,)— (Q+XQ J] =V+XV. .

Si Ton détermine la fonction X de manière à satisfaire a i équation

x'+x(p+xpj(q^xq;) = o, («)

laquelle ne renferme que X et t^ il n'y aura plus qu'à substituer cette valeur de X dans l'équation

tt' + (P4-XPJii = V4-XV,, (6)

où n'entreront alors que les variables u et t^ et qui est linéaire par rapport à u.

Lorsque les coefficients P,Q,Pi, Q^ sont constants, on satisfait à l'équation {a) en prenant pour X l'une des racines X,,Xa de l'équation du second degré

X(P + XPJ-(Q+xQ.)=o. («)

Substituons successivement ces deux racines à la place de X dans l'équation (^) ; désignons par m], m, les valeurs correspondantes de 1/ , et par Cx,C, des constantes arbitraires : l'intégration donne [44^]

M. =:a? -h X jr = e-(>^+X.PO' [C. +/rf/ (V-f-X, V>CP+>«^0'] , (4,) «.^a:4-X^=e-(^*+X.P.V[C,4-/rf^(V-*-X.V,)/^(P+X.^>] ; (*.)

d'où

On change, comme à l'ordinaire, les exponentielles eo sinus et cosinus, si les racines de (a) sont imaginaires.

En cas d'égalité des racines X., \, les valeurs de x,/ deviennent infinies, à moins qu'on ne pose Ci=C,, ce qui les met sous la forme -^; mais on lève l'indéter* mination comme on l'a fait dans un cas semblable [463], en prenant les dérivées des numérateurs et des dénominateurs par rapport au paramètre X,, après quoi l'oi) pose dans cqs dérivées X, = X^.

506. Admettons maintenant que l'on ait trois équations linéaires du premier ordre entre x^/j z et la variable indépendante t : on pourra toujours les ramener

à la forme

x'-^-Vx + Qx+Rz =V,

P,Q, R,V;P„ etc. désignant des fonctions de t. Si l'on fait l'addilion membre à membre, après avoir multiplié la seconde par un facteur X et la troisième par un facteur {^, il viendra

a:'.4-Xy+itz'-h(P.|.XP, + H^P,)a;4-(Q+XQ.+f*Q.)7

+ (R+XR,4-jaR.)z=V + XV.-+.ixV, .

On fera ensuite

'»? + V+P^=^> d'®^ ^'+>7'-f.fxz'=M' — jrk' — z^i.' , et par la substitution,

u'+ (P+XP,+jxP,)a

j[X' + X(P+XP,+fxP.)(Q+xQ.-hFLQO] — z [i*'4- KP+ ^P. -H f^P.) — (R 4-^R. +f* R.)]

EQUATIONS DIFFERENTIELLES SIMULTANlÊES. 323

Il est permis de disposer des fonctions \ \l de manière à satisfaire aux équations

V4-X(P+XP,+fAP,)— (Q + >Q. + |.Q,)=o,j . ^'4.^(P+XP. + |xP,)— (R-|-XR,+|.R,)= o .p'^^

Quand elles pourront s'intégrer, on en tirera les valeurs de X, \L en fonction de t pour les substituer dans la troisième équation

tt'+(P+XP.+ jxP,)a=V-l-XV, + îxV,, (d)

où n'entreront plus que les variables u et t^ et qui est linéaire par rapport à u.

Admettons, comme plus haut, que les coefficients P,Q,etc., se réduisent à des constantes : on satisfait aux équations (c) en prenant pour \ pi les racines des équations numériques

X(P+XP, + f.P,)-(Q-hXQ.4.itQ,) = o, (t(P-+-XP.-hfiiî^,)— (R+XR.+îaR.) = o .

Afin de faciliter l'élimination, nous poserons

P+XP,+(aP. = w, (e)

ce qui donne

X(w-QJ— ttQ.=Q, |x(/w— RJ— XR,=R . {e')

Les valeurs de \ (i, tirées de ces équations linéaires et substituées dans l'équation (e) , conduisent à l'équation finale en m {m-P) (m-Q J (m-R.)- Q.R^ (;„P) P,R(;n-Q, )

- PxQ ('^H.)= P,Q.R+P.QR, .

Celle-ci étant du troisième degré, a trois racines m^^m^jin^y auxquelles coi^respotident pourX, [t, en vertu des équations (^'), trois systèmes de valeurs X.,,(jLi; >.„(*,; X3, (A3. L'équation (d) devient

en y substituant successivement pour m,X,p. les trois

324 LIVRE Vf. CHAPITRE VI.

systèmes de valeurs dénotés par les iDdices(i)^(2), (3], et en intégrant, on obtient les trois équations

^ + ^3/ + M=^-«s'[C3+/rf/ (V+X3V,+ jx,V.)(?«3'] ;

d'où il est facile de tirer x^jy^z en fonction de / et des constantes arbitraires C^C^Ca. Rien ne serait plus simple que de généraliser ce calcul, en l'appliquant à un système d'équations simultanées, linéaires et du premier ordre, renfermant un nombre quelconque de variables.

507. On peut aussi , dans le seul cas qui se prête généralement à une intégration effective, celui où les coefficients P,Q,. . ., P,,Q,,. . . etc., sont des nombres constants, donner au calcul une marche synthétique, plus analogue à celle qui a été suivie [455 et suii^] pour les équations différentielles linéaires, à coefficients constants et à deux variables seulement.

Soit d'abord

.r' + P^ + Qj+R^-i- -|-Um=o, \

/ + P,^-f-Q,7 + R,z+ +U,ii=o,

y + Pa^+Q,J-4-R,24- +U.i£=o, } (^

m'+P»x ^+Q«-^r+R«~i ^H-..+U^,a =zz o,

un système de n équations , sans derniers termes et a coefficients numériques, entre les n variables XjjTyZ^. . .<^ fonctions de /, et. leurs dérivées du premier ordre : on aperçoit la possibilité d'y satisfaire par un système de valeurs particulières

^=C^'^, 7=XC^-«', z={xO-'"', «==uO^,

C désignant une constante arbitraire, et X,|ji,. . . u des nombres donnés par le système des n équations alge-

KQUATIOIfS DIFFiRENTlSLLES SIMULTAICÉES. 325

briques

P +XQ+jxR+ +uTJ=7w,

Px +XQ,+ixR, + +uU.=X/w ,

P.+>^Q. + l*R.+ 4.uU, = fxyw,

P„-, + XQ^, + [iRn-i + +uU„, = U77î .

On peut substituer, dans la première de ces équations^ les valeurs de ^^ [jl,. . .u en fonction de m^ données par les autres équations du même groupe, en nombre n — i ; et, d'après la règle de Bezout , ces valeurs sont exprimées par des fractions dans lesquelles m entre au numérateur à la puissance n — 2, et au dénominateur à la puissance n — i : donc l'équation finale en m est du degré /^. Ses racines étant désignées par m^^m^^. . ./7z„, et les mêmes indices affectant les valeurs correspondantes deX,pL,. .u,C, oh a pour les intégrales complètes du système {g\

Supposons maintenant qu'il y ait aux seconds membres des équations (g) des fonctions de t désignées par V,V„ Va,. . . V„., : les équations (g^) seront encore les intégrales générales du système, pourvu que les facteurs C„Ca,. . .C„ désignent, non plus des nombres constants,, mais des fonctions de t qui satisfassent aux équations

\C'ie— i'-hX,C',e-^«'+ +X„C;c^»^ = Y, ,

.[i,G,eT-x'+ [!,€',«-'"•'+ + l^»C'«6-'"»' = V, ,

326 UVRfi VI. -^ CHAPITRE VI.

On tirera de ces équations , par une élimination ordinaire^ les valeurs des dérivées C',,C'a,. . .G'„, et par des quadratures subséquentes les valeurs des fonctions C,yC^^. . .Cnj qu'il faudra ensuite substituer dans les équations (g^,).

508. On a vu qu'on peut éliminer une variable d'un système d'équations différentielles simultanées, en sobs^ tituant aux. proposées des équations différentielles en moindre nombre, mais d'un ordre plus élevé [i65]: réciproquement on peut abaisser l'ordre d'une ou de plusieurs des équations proposées, en se donnant à intégrer simultanément un plus grand nombre d'équations différentielles. Ainsi l'intégration du système des deux équations linéaires du second ordre

/' +py +Qy +'R^^ + s.r= V, ,

peut être, ramenée à dépendre de l'intégration simultanée des quatre équçitions, linéaires du premier ordre entre les variables a:,/, Ç,tii,^ :

5'+PÇ+Qy, +R^Hr'Sy =V,

D09C les ciileuls qui précèdent sont susceptibles de s'appliquer à l'intégration simultanée des équations linéaires d'ordres quelconques.

Ô09. Désignons par

/«(^;^>r>^> y^'yfi^'j )=o', F ^j

un système de n équations différentielles, simuttances ou

EQUATIOlfS DiFFJiREirriELLSS SIMULTAKiES. 327

premier ordre, et par

le système de leurs intégrales complètes, dans lesquelles les constantes a, a,,. . .a,,^., introduites par l'intégration, se trouvent combinées d'une manière quelconque. En général, on peut , par une élimination dirigée coiivenablement, transformer ce système d'équations dans un autre

fOj^iXf ^9 .... ; a) =0,

équivalent au précédent, et qui jouit, comme celui-là, de la propriété de satisfaire au système (/*) avec toute la généralité requise. Si maintenant on détermine cLyU^^. . .a„.i en fonction de t; x,j^,z,. . .par les équations

df ^ rff, ^ ^fn~i ^ /m

et qu'on substitue les valeurs^ ainsi trouvées dans les équations ( f ), on forme d'autres équations

<p(/fa;,7,z, )=o,

qui, prises ensemble, satisfont au système (/), mais en qualité d'intégrales singulières ; à moins que, par accident, les valeurs de a, a^, . . . a„^, tirées des équations (f '), ne se réduisent à des constantes, ou à des fonctions de

328 LIVBE VI. — CHAPITRK VI.

t; ûÇjjr^Zy. . .qui prennent elles-mêmes des valeurs cons' tantes, en vertu des équations (<p).

Au lieu de prendre à la fois tout le système (f) ou tout le système (ç), on pourrait remplacer partiellement certaines des équations (f) par leurs correspondantes dans le système (ç), c'est-à-dire f> par ç,, et ainsi de suite. On fprmerait ainsi des systèmes mixtes, qui satisfont encore à leur manière au système des équations différentielles proposées.

Cette analyse s'étendrait, s'il était nécessaire, aux équations différentielles simultanées , d'ordres quelconques.

510. Pour donner un exemple d'intégration simultanée dans le cas où les équations différentielles proposées ne sont pas linéaires, et pour indiquer en même temps l'application qu'on peut faire de la théorie des intégrales singulières aux* équations différentielles où toutes les variables sont mêlées, prenons les deux équations du premier ordre à trois variables

(^x/+jrx'y-^8tx^y = oy (i)

a:j — 7 ( xy — x^) = o . (a)

£n les différentiant on a

nxy — 1{ œy'^ — a!' y ) = o .

Si l'on tire de la seconde de ces équations dérivées la valeur de «rjr pour la reporter dans le second membre de la première, on mettra celle-ci sous la forme

( a! 'y + %x'y + xf) ( x'y + / V -r a^ ) = o , (3) çt on la décomposera dans les deux équations

x'y^ ix'y :+. ^/ = o , (4)

oî'j +ya? — : a^ = o . (5)

L'équation (4) équivaut à

iQUATIOKS DIFFÉRBlfTIELLES SIMULTAKJÉES. 329

--^^o /d'où ay^==at+B , (6)

Uy b désignant deux constantes arbitraires.

Ces deux constantes ne sont pas indépendantes Tune de l'autre; car les deux équations (1)9 (^) doivent s'accorder lorsqu'on en chasse^,/' au moyen de l'équation (6) ; et l'on trouve que, pour rendre ces deux équations

identiques, il faut poser b:= — --; au moyen de quoi l'intégrale (6) devient

a:xz=^at -• (7)

Chacune des équations (i) et (a) donne ensuite

adt . doc

d'où, en intégrant et en désignant par c une constante

arbitraire,

xHz=ic{^t — a) . (8)

En conséquence, le système des équations (7) et (8) donne les intégrales complètes* des deux équations proposées (i) et (a).

On peut substituer à l'équation (8) une autre équation plus simple; car on en tire

xt z=z Ac • ac • - >

JC X

tandis que l'équation (7) donne

donc, si l'on désigne par a, une nouvelle constante arbitraire, telle que aa,=4c, L'équation (8) pourra être remplacée par

xt = a^. (9)

Maiptenant, si l'on emploie le second facteur de l'équa-

tion (3), et qu'on élimine x\y entre l'équation (5) et

les deux proposées, il viendra

xy=V, (lo)

intégrale singulière, puisqu'elle ne contient pas de constante arbitraire, et qu'elle ne peut pas rentrer dans l'in* tëgrale (7), par une détermination convenable de la constante a. D'ailleurs la dérivée de l'intégrale (7) par rapport à a donne a =2^, et cette valeur reportée dans l'équation (7) fait retomber sur l'iutégrale singulière (10), conformément à la théorie exposée dans le n^ précédent.

Au moyen des valeurs de^,^, tirées de l'équation (fo), les proposées se changent l'une et l'autre en X — 2^'fc=o, d'où, en intégrant et en désignant par a une constante arbitraire,

X^ z=.fit . (11)

D'ailleurs il est aisé de voir que le système des équations (jo),(i i) devient identique avec celui des équations (9), (10), quand on pose cc==a^.

511. Si l'on excepte les équations différentielles linéaires dans lesquelles les fonctions de la variable indépendante et leurs dérivées sont multipliées par des nombres constants , il est bien rare que des équations différentielles simultanées puissent s'intégrer autrement que par approximation. Dans certains cas, et notamment dans les problèmes relatifs aux mouvements des corps célestes, on a donné à l'approximation une forme trop remarquable pour que nous ne l'indiquions pas brièvement.

Afin de fixer les idées, soient

EQUATIONS DirFiHBNTIELLES SIMULTANÉES. 331

deux équations entre le temps t et les coordonnées x^j: d'ud point mobile sur un plan. Admettons de plus que l'on ait

f)?}^!? ?i désignant d'autres fonctions des mêmes variables et de leurs dérivées, et 8 un nombre très-petit : de sorte que, si Ton supposait ce facteur e tout à fait i\ul , les équations du problème se réduiraient à

Supposons enfin que le système formé 4^ ces dernières équations puisse s'intégrer, et qu'il ait pour intégrales générales

a^b^c^ etc., désignant les constantes arbitraires amenées par l'intégration. Si l'on élimine t entre ces deux équations, on aura

pour l'équation de la courbe que le point mobile décrirait sur le plan xjr^ dans le cas où l'on pourrait supposer ntll le fecteur e.

M^ûntenant il sera permis de représenter encore par les équations {/) les intégrales générales des équations (Â), dans lesquelles on ne suppose plus nul le facteur e, pourvu que dans les fonctions F, F, on regarde les paramètres a, £, c, etc., non plus comme des constantes, mais comme des fonctions de* la variable indépendante t, qu'il &ut déterminer de manière à satisfaire aux équations (h). D'après l'hypothèse, celle^i ne diffèrent des équations (ho) que par la présence de termes qui restent très-petits : donc où peut traiter comme de très-petites quantités les dérivées ou les (luxions

da db de ,,.

qui s'évanouiraient rigoureusement avec e. Ordinairement il y a lieu de profiter de cette remarque pour simplifier les équations qu'il s'agit de traiter, et qui se trouvent substituées au système des équations proposées.

Dire que les fluxions (Ji) sont des quantités très-petites, c'est exprimer en d autres termes que les paramètres â(,é,c, etc., varient très-lentement, ou conservent pendant un long laps de temps des valeurs sensiblement constantes. Donc, si l'on observait à une certaine époque le mouvement du point {x^y)y on trouverait qu'il décrit sensiblement la courbe donnée par l'équation (y), dans laquelle il faudrait attribuer à a, ^, Cj etc., de certaines valeurs constantes. Au bout d'un temps considérable, si l'on répétait les mêmes observations, on trouverait encore que le mobile décrit une courbe de même espèce, mais pour laquelle les paramètres a,é,c, etc., ont des valeurs sensiblement différentes de celles que leur assignaient les premières observations ; et ainsi de suite.

Il ne faut donc pas voir seulement un artifice ingénieux d'analyse dans la méthode d'intégration par la variation des constantes arbitraires^ dont Lagrange a été le promoteur, et dont nous avons vu une application élégante à l'intégration rigoureuse des équations difierentiellcs linéaires où les fonctions et leurs dérivées ne sont multipliées que par des nombres constants. Elle aurait pu être suggérée par l'observation des phénomènes, à la représentation desquels elle s'adapte naturellement dans des circonstances Comme celles qui viennent d'être définies.