CHAPITRE VIL

DE LA GONSTRUCTIOir DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A UNE SEULE VARIABLE INDÉPENDANTE.

512. Nous avons discuté les cas principaux où l'on sait assigner la fonction qui satisfait de la manière la plus générale à une équation différentielle donnée , ou trouver l'équation générale des courbes qui jouissent en tous leurs points de la propriété exprimée par l'équation différentielle. Nous avons indiqué comment ^ lorsque l'intégration n'est plus possible sous forme finie, on peut encore souvent, ou ramener l'intégration aux quadratures, ou développer l'intégrale en séries convergentes, ou quelquefois même remplacer les séries par des intégrales définies, prises entre des limites spéciales, et susceptibles d'être évaluées numériquement, avec une approximation illimitée ^ pour chaque valeur de la variable indépendante. Mais une équation différentielle à laquelle aucun de ces procédés d'intégration n'est applicable, n'en détermine pas moins la série des valeurs numériques par lesquelles la fonction doit passer, apèrs qu'on a assigné, pour une certaine valeur de la variable indépendante, les valeurs correspondantes de la fonction et de ses dérivées, jusqu'à celle dont l'ordre est inférieur d'une unité à Tordre de l'équation proposée. Il peut même arriver que, par la discussion directe de l'équation différentielle, on découvre la marche et toutes les propriétés caractéristiques de la fonction qu'elle dé-

termine implicitement, mieux qu'on ne pourrait le faire à l'inspection de l'intégrale générale^ donnée sous forme finie, ou développée en séries, ou bien enfin exprimée par des intégrales définies ou indéfinies. C'est ce que M. Sturm a montré dans son beau mémoire sur la discussion des fonctions T, déterminées implicitement par l'équation différentielle du second ordre

dans laquelle 6,K désignent des fonctions de la variable indépendante x (').

Cette équation comprend celle de Riccati^ ou celles dont l'intégration par les séries et par les intégrales définies a fait l'objet du chapitre III du présent livre. Lorsque les fonctions G,K se réduisent à des constantes réelles et positives, la fonction Y représente un sinus ou un cosinus. Dans le cas général, la marche de la fonction V offre avec celle des fonctions sin et cos des analogies très-remarquables, que fait ressortir la discussion directe de l'équation (V), et qu'il faut voir dans le mémoire cité. Ce chapitre doit porter sur des considérations beaucoup plus élémentaires, et indispensables [4^7] pour compléter la théorie de l'intégration des équations différentielles.