Soit

une équation différentielle du premier ordre, à* deux variables, qui devient

(0 ^oyes le Journal de maihématiqiifs àp M. Lionville^ tom. I,

pag. X06.

GONSTRUGTIOir DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 336

quand on la résout par rapport à ^. Pour chaque sys* tème de valeurs de x et de y y cette équation détermine le rapport de la variation infiniment petite de /* à la variation infiniment petite de x : elle détermine donc implicitement la différence finie des valeurs de /, correspondantes à deux valeurs de x séparées par un intervalle fini^ lorsque dans l'intervalle cfy- ne cesse pas d'être une quantité infiniment petite, ou lorsque la fonctionjr n'éprouve pas de solution de continuité du premier ordre; ce qui a lieu quand la fonction^ reste finie, et même dans certains cas, quoique la fonction^ passe par l'infini.

Désignons par Xo,X deux valeurs de x séparées par un intervalle fini; posons n^ = X — x^y n désignant un nombre assez grand pour que la quantité Ao: puisse être considérée comme une quantité très-petite du premier ordre [45]; faisons

x^z=:x^ -H Hxy x^ = Xo + aAiP , X3=zx^ + 3Aar , etc. ,

et désignons par/o^^i^Jaj etc.;yo,X> /,, etc., les valeurs dej'^jf qui répondent respectivement aux valeurs de X désignées par x^, x^, j:,, etc. Si l'on se donne arbitrairement la valeur^o* ^^ peut, avec l'équation (/"), calculer approximativement, de proche en proche, la sériç des valeurs de la fonction ^ entre les limites •^=«a;o, x = X. En effet, cette équation donne

^ Ion a, ^1 négligeant une quantité très-petite du second ordre,

Parla substitution de cette valeur de^i dans l'équation

on obtient la valeur àe y\y affectée d'une erreur qui ne peut être non plus, en général, qu'une quantité du second ordre; car, en général, la variation de la fonction/est une quantité de même ordre que les variations des quantités x^y dont elle dépend. On aura donc, aux quantités près du second ordre,

ra=rx-+-r'xA^=ro-+-/(^o,ro) •^+/(^i,ri) • ^ ,

et ainsi de suite. Comme n est, par hypothèse , un trèsgrand nombre , ou - une quantité de l'ordre de Aa:,

Terreur qui se commet, à chaque valeur de^ que Ton détermine, étant répétée n fois, peut amener sur la valeur trouvée pour Y qui correspond à X, une erreur égale à une quantité très-petite du premier ordre, ou de l'ordre de Ajc, et qui sera négligeable si l'on a pris pour A.r une quantité suffisamment petite.

Ce raisonnement tombe en défaut lorsque les dérivées

dx dy

sont susceptibles de devenir infinies, pour des valeurs de X et de/ qui tombent respectivement entre x^ etX, ^0 et Y ; car alors une variation très-petite du second ordre, attribuée à a: ou à ^, peut faire varier la fonction y de quantités du premier ordre: mais, dans ce cas même, si la fonction /ne devient pas infinie, on conçoit que la fonction^ passe, en vertu de l'équation (y*), qui en règle les variations infinitésimales, par une succession de valeurs déterminées ; bien que la méthode d'approximation ne soit plus propre à donner, avec une précision suffisante, une série de valeurs séparées par des intervalles finis (').

(') On n'a gaère occasion de pratiquer le calcul d'approKioi»-

GONSTRUGTiON DES lÉQUATIONS DIFFJÉREIfTIELLES. 337

On remarquera que le calcul arithmétique qui vient d'êtfe indiqué/ équivaut à construire la courbe dont l'ordonnée est la fonction y ^ en substituant à cette courbe un polygone qui s'en rapproche d'autant plus que la ligne Ax a été choisie plus petite , et en se donnant en outre un point par lequel la courbe doit passer, et qui est un des sommets du polygone construit.

514. Quand la valeur de/', donnée par l'équation yj passe par l'infini , on peut renverser cette équation et écrire

en prenant^ pour variable indépendante. Si la fonction^ doit devenir infinie en même temps que^', l'équation différentielle, mise sous cette dernière forme, pourra servir à prolonger tant qu'on le voudra la branche de courbe mji[fig. loa), sur laquelle on a pris le point m^ pour point initial , et qui est située en deçà de l'asymptote PN, parallèle à l'axe des j. On ne pourra continuer la construction de la courbe, de l'autre côté de PN, qu'en se donnant arbitrairement un autre point initial /w'o, par lequel la branche nî^ sera assujettie à passer. Rien ne s'oppose à ce qu'on choisisse pour w!q comme pour m^ un point quelconque, sous la seule condition que les valeurs de ses coordonnées ne rendent pas. imaginaires les valeurs correspondantes de^ données par l'équation (/*).

tioo indiqué dans ce numéro, et par conséquent de désirer une expression rigoureuse des limites de Terreur commise. Cette expression a été donnée par M. Cauchy. On peut consulter là-dessus les ouvrages de cet habile analyste, et un mémoire de M. Biuet , inséré dans le Journal de math,., de M. Liou ville, tom. II, pag. 229. T. II. 22

e*î38 LIVRE VI. CHAPITRE VIÏ.

Quand on peut exprimer analytiquement l'intégrale de l'équation (/), la branche m'ji!^ qui doit être associée à /7^o/^9 se détermine ordinairement par la condition que la constante arbitraire ne change pas de valeur dans le passage d'une branche à l'autre; mais cette condition déterminante disparaît, lorsque l'équation différentielle n'a pas d'intégrale susceptible de s'exprimer avec les signes de l'analyse.

La différence de deux valeurs de j^ entre lesquelles a lieu le passage de la fonction jr par l'infini , ne peut plus exprimer la somme des accroissements infiniment petits que la fonction a reçus dans l'intervalle; et la dénomination d^intégrale ne s'appliquerait plus qu'improprement à l'équation en .r,/ qui satisfait à l'équation différentielle proposée, si l'on avait en vue la comparaison de ces valeurs. Soient pourtant Xq^ les valeurs de. 2: entre lesquelles tombe celle qui rend y infini, et j-Q^ les valeurs correspondantes de^ : si l'on fait passer X de la valeur Xq à la valeur X par une succession de valeurs imaginaires qui ne donnent point à^ des valeurs infinies, la différence Y — y^ exprimera de nouveau la somme des accroissements infiniment petits, réels ou imaginaires, reçus successivement par la fonction/, dans le passage d'une valeur à l'autre [32 1]. La somme des parties imaginaires de ces accroissements devra être nulle, puisque, par hypothèse, les valeurs ^o,Y, et par conséquent leur différence Y — -j^^ sont des quantités réelles.

515. Il y a lieu de soumettre à une discussion spéciale le cas où l'équation différentielle serait de la forme

y =fjfy.^{x,y). il)

En effet, soitjr„ une valeur de j^ qui fait évanouir ç^:

CONSTRUCTlOJy DES ÉQUATIONS DIFFÉRFJNTIELLES. 339

si la valeur de la fonction^ croît ou décroît sans discontinuité, de la valeur initiale ^o à la valeur ^„, au moment où /aura atteint cette valeur j-^, celle dey sera nulle; la valeur consécutive

se réduira donc à/^; de sorte que j^'„,., sera encore une quantité nulle, et ainsi indéfiniment. Par conséquent la valeur de la fonction, après avoir été une quantité variable de^^ ^J^ny deviendra tout à coup une quantité constante.

Il faut bien considérer que la remarque faite ici ne porte pas seulement sur la construction arithmétique ou graphique au moyen de laquelle les valeurs consécutives d'une fonction se trouvent déterminées avec une approximation illimitée, en vertu de l'équation différentielle qui exprime la loi de ses variations infinitésimales, lors même que cette équation ne comporterait pas d'intégrale exprimable analytiquement. La remarque porte avant tout sur la génération même de la fonction, toutes les fois qu'elle passe effectivement et dans le sens propre par une succession de valeurs ; ce qui suppose que la variable indépendante a: désigne le temps ou une quantité qui croît avec le temps.

516. Il s'agit de savoir dans quelles circonstances la fonction j" peut atteindre la valeur qui fait évanouir ç/, en partant d'une valeur initiale différente. Pour cela , considérons d'abord le cas où la fonction ^ (/^yj') se réduirait à une constante c, et où là fonction (fjr serait de la forme mj'-^n, m et n désignant des nombres constants. L'équation

j"' = c ( my + n)

a pour intégrale

•^oï^o désignant les valeurs initiales des deux variablts. La quantité rn/o-^n est par hypothèse différente de zéro : il résulte donc de la forme de l'intégrale , que la quantité mj-^-n ne peut devenir nulle pour aucune valeur finie de x; que seulement elle converge vers zéro quand la quantité mc{x — x^), supposée négative, prend des valeurs numériques de plus en plus grandes.

Passons au cas général , et admettons seulement que la fonction <pjr ne devienne pas infinie pour la valeur de/ qui annule (fjr. Soit y} cette valeur : si la fonction fy en partant d'une valeur plus petite ou plus grande, peut croître ou décroître jusqu'au point d'atteindre la valeur ti, il sera permis de prendre pour y^ une valeur infiniment peu différente de yi , et alors ffj différera infiniment peu de (/ — -n) 9'». Admettons, pour fixer les idées , qu'on ait /^^ > yî , ç'vi > o : dj ne pourra pas devenir négatif pour des valeurs positives de d.x, et par conséquent/ ne pourra point passer de la valeur /o à la valeur n , si la fonction vj/ {Xyj) ne prend dans l'intervalle des valeurs négatives. On exclut d'ailleurs le cas où cette fonction passerait par l'infini ou deviendrait indéterminée. Soit donc — c la plus grande numériquement des valeurs négatives que la fonction if {pCyj) prend dans l'intervalle : on vient de voir, d'après la forme de l'intégrale que comporte l'équation

dj=z—c (/•— Yi> <pn dx, (a)

que la différence / — -n ne peut devenir nulle pour aucune valeur finie de x ; à plus forte raison il est im* possible, quand la fonction / doit satisfaire à l'équation différentielle