CONSTRUCTION DES EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

djr = ^{j;,jr).[x—'n)'<f\da^, (3)

que la difFérence / — vi s'évanouisse pour aucune valeur finie de a:; puisque, par hypothèse, la fonction ^ {Xyj\ en la supposant même constamment négative, n'atteindrait jamais une valeur numérique égale à c, et qu'ainsi y décroît moins rapidement en vertu de Téquation (3) qu'en vertu de l'équation (2).

Si l'on supposait j^^ <7i, ou t^\ <o, on démontrerait par un raisonnement semblable^ que y ne peut devenir égal à Y) pour aucune valeur finie de x.

Il ne reste donc plus que l'hypothèse où le coefficient <sft[ devient infini; ce qui arriverait, par exemple, si

Ton supposait

, <p7=(j Ti)*,

k désignant un nombre compris entre o et i , ou bien encore

^•^~log(7-^)'

et alors l'équation ^=7) est une intégrale singulière de Téquation (1).

517. Nous avons admis que l'équation (F), résolue par rapport à y^ ne donnait pour y' qu'une seule valeur réelle y(.r,jr). Evidemment dans ce cas il n'y a pas d'intersection entre les lignes, en nombre infini, que Ton peut construire en vertu de l'équation (F), en se donnant arbitrairement un point de chaque ligne; puisque, si elles se coupaient,^' aurait, contre l'hypothèse, plusieurs valeurs correspondantes aux coordonnées x^y des points de rencontre. Ce principe ne souffre d'exception que si la valeur de y devient indéterminée pour certaines valeurs de x^y. Par exemple, l'équation diffé-

rentiellejr'= - appartient à une infinité de lignes droites

qui se coupent toutes à l'origine des coordonnées , point pour lequel la valeur de ^ se présente sous la forme

Jjorsque l'équation (F) donne à y plusieurs valeurs distinctes y'=^i^{Xyy)^y-=iî^[x^y)^ etc., chacune de ces équations, prise séparément, peut se construire comme l'équation {J\ et donne naissance à un système formé d'une infinité de courbes ou de branches de courbes , particularisées par le choix du point initial.

Ainsi l'équation

j*x" — ^yx{j — /?) +y^ +x^ = o {a)

équivaut aux deux suivantes

dont chacune peut être séparément construite.

Dans cet exemple, f prend une valeur imaginaire, toutes les fois que les variables x^j satisfont à l'inégalité

/?(/? — 2j) — x^ < o , La courbe

p{p — 2x) — x^=o [bj

limite donc sur le plan xj la région dans laquelle peuvent s'étendre les courbes caractérisées par réquation {a). Les deux valeurs de^' deviennent égales pour les points situés sur la courbe {b) ; c'est-à-dire qu'elle est le lieu des points où se raccordent deux à deux les branches de courbes caractérisées respectivement par les équations {<it)^{a^. Or ce raccordement peut avoir lieu (le deux manières différentes.