Mais si l'on a l'équation

laquelle se décompose dans les deux suivantes :

il arrive que la tangente commune aux branches (a,), (a,),

344 LIVRE VI. CHiLPITRB VII.

aux points de raccordement de ces branches situés sur la courbe {b\ se confond avec la tangente à cette dernière courbe, qui devient ainsi l'enveloppe de toutes les courbes caractérisées par le système des équations (a,), (a,). En effet, l'équation qui établit cette coïncidence, savoir,

est identique avec l'équation (è).

Ce résultat s'accorde avec ce qu'on a vu [i84] '* l'équation (a) est celle qui s'obtient quand on élimine la constante a entre l'équation

yz=.ax'^ ; — X* , (t?)

et sa dérivée immédiate. L'enveloppe de toutes les paraboles caractérisées par l'équation (a), ou par l'équation (c) qui en est l'intégrale générale, est précisémeot la parabole {b\

De sorte que le point de contact de chaque enveloppée avec l'enveloppe divise l'enveloppée en deux arcs paraboliques , sur l'un desquels la valeur de y' est donnée par l'équation (a,), tandis que sur l'autre elle est donnée par l'équation (aa).

5 1 9. Ceci fait naître une autre difficulté : car, si x désigne le temps ou une quantité croissant avec le temps, on ne voit pas de raison pour que la fonction y y dont la loi de variation est exprimée par l'équation (a), soit représentée, pour des valeurs de x plus grandes que l'abscisse Op {Jig. 48) du point de contact de l'enveloppée avec l'enveloppe, plutôt par l'ordonnée de l'arc mn appartenant à l'enveloppée, que par celle de l'arc m\L appartenant à l'enveloppe; et cependant il est impos-

CONSTRUCTION DES lÉQUATlONS DIFFERENTIELLES. 345

sible que cette fonction, partant d'une valeur initiale donnée, ait à la même époque, ou pour la même valeur de X , deux valeurs difFérentes.

Cette difficulté sera levée à l'aide des considérations suivantes :

Désignons par tt=o l'équation de la courbe enveloppe, u étant une fonction de .r,jr, au moyen de laquelle nous pourrons chasser^ et dy de l'équation différentielle proposée. Il faut que cette équation prenne la forme

duzzz^u . ^ {Uy oc) dx ,

<pM étant une fonction de u qui s'évanouit avec u^ et dont la dérivée ^'u devient infinie pour m=o, du moins lorsque la fonction ^ (w, x) ne devient point elle-même infinie ou indéterminée. Car, de cette manière, lorsque la fonction m, après avoir eu à l'origine une valeur différente de zéro, vient à s'évanouir, ce qui arrive au point de contact de l'enveloppée et de l'enveloppe, la tangente de l'enveloppée est déterminée par l'équation du =0, et se confond avec celle de l'enveloppe, comme cela doit être.

Il en résulte [5i5] que la fonction w, ayant une fois atteint la valeur zéro, conserve indéfiniment cette valeur pour des valeurs croissantes du temps ou de la variable X : de sorte que la fonction jk, représentée dans une première partie de son cours par l'ordonnée de l'enveloppée, est représentée ultérieurement par l'ordonnée de l'enveloppe.

Pour appliquer ceci à notre exemple, si l'on pose

u=p{p—2x) — x\ les équations (a,), (a.) deviendront

du =. Vu . , auz=i Vu . •

520. Nous retombons de cette manière sur la théorie des intégrales singulières exposée dans le chapitre lY du présent livre. On voit pourquoi nous leur avons conservé le nom diirUégrales que quelqueis auteurs leur refusent à tort : c'est qu'en effet , quand le temps joue explicitement ou implicitement le rôle de variable indépendante j le problème de l'intégration proprement dite, qui consiste à assigner la somme des accroissements infiniment petits de la fonction dans un intervalle de temps donné , est résolu successivement au moyen d'une intégrale particulière et au moyen de l'intégrale singulière; de sorte que la solution n'est complète que quand on joint l'intégrale singulière au système des intégrales particulières ou à l'intégrale générale.

Cette propriété de l'intégrale singulière lui appartient en raison de ce qu'elle représente la ligne enveloppe de toutes les lignes données par les intégrales particulières. En conséquence, lors même que l'équation de la ligne enveloppe pourrait se tirer de l'intégrale générale par une détermination convenable de la constante arbitraire (auquel cas elle ne serait plus une intégrale singulière dans le sens purement abstrait que les analystes sont convenus d'attacher à cette expression ), elle n'en mériterait pas moins la qualification d'intégrale singulière^ en ce sens qu'il faudrait la joindre à chacune des autres intégrales particulières , pour compléter la solution du problème d'intégration, lorsque la variable indépendante est le temps ou une quantité croissant avec le temps.

Par exemple, l'équation différentielle

CONSTRUCTIOir DES ]ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 347

a pour intégrale générale l'équation

y + x"" — iiay = o ,

qui représente une infinité de cercles ayant leurs centres sur l'aj^e des^, et touchant tous Taxe des jo à l'origine des coordonnées. L'équation jr=o , qui satisfait à la proposée, n'est qu'une intégrale particulière, en ce sens qu'elle se tire de l'intégrale générale quand ou y fait « = 00 : mais, si la variable a: représente le temps, et que , pour une valeur négative de x on donne à jk une valeur positive, assujettie seulement à la condition d'être numériquement plus petite quex, la fonction r s'annulera en même temps que x,et restera ensuite constamment nulle pour toutes les valeurs positives de X. Il faut donc associer l'équation ^=o à chacune des autres intégrales particulières, pour en former un système qui, dans chaque cas particulier, résout le problème d'intégration; et, sous ce rapport, l'équation /=ro est vraiment une intégrale singulière de la proposée. Pour comparer l'équation (d) à l'équation (i), on posera

et la fonction çjk ne satisfera plus à la condition établie [5i6], pour que la fonction ^, partant d'une valeur initiale autre que zéro, puisse devenir nulle; mais cela tient à ce que le facteur ^ (^,^) devient infini pour le système de valeurs ,r=o,^=o; et ce cas était exclu dans la démonstration rapportée au n^ cité.